求数列通项公式的11种方法(3)

a?4an?1?3an?0an练习.数列{an}中，若a1?8,a2?2,且满足n?2,求.

答案：

an?11?3n.

四、迭代法

例12 已知数列

ran?1?pan(其中p,r为常数)型

n{an}满足

3(n?1)2an?1?an，a1?5，求数列

{an}的通项公式。

解：因为

an?1?a3(n?1)2nn，所以

an?a ?a ?a3n?2n?1n?1?[a]3(n?1)?2n?2n?2]3n?2n?1?a32(n?1)?n?2(n?2)?(n?1)n?2 ?[a3(n?2)?2n?3n?332(n?1)?n?2(n?2)?(n?1)33(n?2)(n?1)n?2(n?3)?(n?2)?(n?1)n?3 ??3n?1?2?3??(n?2)?(n?1)?n?21?2????(n?3)?(n?2)?(n?1)1n(n?1)3n?1?n!?22 ?a1

n(n?1)3n?1?n!?22又

a1?5，所以数列

{an}a?5n的通项公式为

。

注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。

例13.（2005江西卷）

1a?1,a?an(4?an),n?Nn?1{an}的各项都是正数,且满足:02已知数列，

（1）证明

an?an?1?2,n?N; （2）求数列

{an}11

的通项公式an.

解：（1）略（2）

an?1?11an(4?an)?[?(an?2)2?4],22(a?2)??(a?2)n?1n22所以

1211221122211?2???2n?12n令bn?an?2,则bn??bn?1??(?bn?2)???()bn?1????()bn22222212n?112n?1bn??(),即an?2?bn?2?()22又bn=－1，所以.

??bnn?方法2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法3：设cn上面类型（1）来解

，则c

12cn?12,转化为

五、对数变换法 适用于

ran?1?pan(其中p,r为常数)型 p>0，

an?0

2?a?2aan?a?1nn?1（n≥2）.求数列?an?的通项公式. 例14. 设正项数列满足1，

ananan?1anan?1b?loglog?1?2loglog?1?2(log?1)n2?1，则2222解：两边取对数得：，，设

bn?2bn?11?bn?bn?1?2n?1?2n?1b?log?1?112 是以2为公比的等比数列， ，

n?1ann?1n?1nan?22logalog?2?12?1?22，，∴

?1

练习 数列

?an?中，a1?1，an?22?22?n

an?1（n≥2），求数列

?an?的通项公式.

答案：

an?2例15 已知数列{an}满足an?1?2?3?an，a1?7，求数列{an}的通项公式。 解：因为an?1?2?3?an，a1?7，所以an?0，an?1?0。

n5n5 12

两边取常用对数得lgan?1?5lgan?nlg3?lg2 设lgan?1?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y) 比较系数得， x?由lga1?

（同类型四）

lg3lg3lg2 ,y??4164lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg3lg3lg2?1???lg7??1???0，得lgan?n???0， 416441644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2为首项，以5为公比的等比数列，??n??}是以lg7?41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2n?1则lgan?n???(lg7???)5，因此

41644164所以数列{lgan?lg3lg3lg2n?1lg3lg3lg2lgan?(lg7???)5?n??4164464?[lg(7?3?3?2)]5n?1?lg(3?3?2)?lg(7?3?3?2)?lg(75n?1?3则an

六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例16 已知数列{an}满足an?1?5n?4n?116141161n?1451411614n411614?lg(3?3?2))n411614

?25n?1?14?7?35n?15n?4n?116?25n?1?14。

2an,a1?1，求数列{an}的通项公式。 an?2解：求倒数得

111111?11?11??,???,????为等差数列，首项?1，公差为，an?12anan?1an2?an?1an?a12?112?(n?1),?an? an2n?113

七、换元法 适用于含根式的递推关系 例17 已知数列{an}满足an?1?1(1?4an?1?24an)，a1?1，求数列{an}的通项公式。 1612(bn?1) 24解：令bn?1?24an，则an?代入an?1?1(1?4an?1?24an)得 1612112(bn?1?1)?[1?4(bn?1)?bn] 241624即4bn?1?(bn?3) 因为bn?1?24an?0， 则2bn?1?bn?3，即bn?1?可化为bn?1?3?2213bn?， 221(bn?3)， 21为公比的等比数列，因此2所以{bn?3}是以b1?3?1?24a1?3?1?24?1?3?2为首项，以

1111bn?3?2()n?1?()n?2，则bn?()n?2?3，即1?24an?()n?2?3，得

22222111an?()n?()n?。

3423

八、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳

法加以证明。 例18 已知数列{an}满足an?1?an?8(n?1)8，求数列{an}的通项公式。 ，a?1(2n?1)2(2n?3)29解：由an?1?an?88(n?1)a?及，得 1229(2n?1)(2n?3) 14

8(1?1)88?224???22(2?1?1)(2?1?3)99?25258(2?1)248?348a3?a2???? 22(2?2?1)(2?2?3)2525?49498(3?1)488?480a4?a3????(2?3?1)2(2?3?3)24949?8181a2?a1?(2n?1)2?1由此可猜测an?，下面用数学归纳法证明这个结论。

(2n?1)2(2?1?1)2?18?，所以等式成立。 （1）当n?1时，a1?2(2?1?1)9(2k?1)2?1（2）假设当n?k时等式成立，即ak?，则当n?k?1时，

(2k?1)2ak?1?ak?8(k?1)(2k?1)2(2k?3)2[(2k?1)2?1](2k?3)2?8(k?1) ?(2k?1)2(2k?3)2(2k?1)2(2k?3)2?(2k?1)2 ?(2k?1)2(2k?3)2(2k?3)2?1 ?(2k?3)2[2(k?1)?1]2?1 ?[2(k?1)?1]2由此可知，当n?k?1时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何n?N都成立。

*

九、阶差法（逐项相减法）

1、递推公式中既有Sn，又有an

?S1,n?1 分析：把已知关系通过an??转化为数列?an?或Sn的递推关系，然后采用相应的

S?S,n?2n?1?n方法求解。

例19 已知数列{an}的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn?

15

1(an?1)(an?2)，且a2,a4,a9成6