求数列通项公式的11种方法

求数列通项公式的11种方法方法

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法（少用）

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法

二．四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、

等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于：an?1?an?f(n) ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若an?1?an?f(n)(n?2)，

a2?a1?f(1)则

a3?a2?f(2)? ?an?1?an?f(n)

1

两边分别相加得 an?1?a1??f(n)

k?1n，a1?1，求数列{an}的通项公式。 例1 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]???(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)???2?1]?(n?1)?1(n?1)n?(n?1)?12?(n?1)(n?1)?1?2?n2所以数列{an}的通项公式为an?n。

2

，a1?3，求数列{an}的通项公式。 例2 已知数列{an}满足an?1?an?2?3?1解法一：由an?1?an?2?3?1得an?1?an?2?3?1则

nnnan?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?3n?1?1)?(2?3n?2?1)???(2?32?1)?(2?31?1)?3?2(3n?1?3n?2???32?31)?(n?1)?33(1?3n?1)?2?(n?1)?31?3?3n?3?n?1?3?3n?n?1所以an?3?n?1.

解法二：an?1?3an?2?3?1两边除以3则

nn

n?1，得

an?1an21???， n?1nn?13333an?1an21???，故 3n?13n33n?1 2

ananan?1an?1an?2an?2an?3a2a1a1?(?)?(?)?(?)???(?1)?nnn?2n?2n?3233an?1an?1333333212121213?(?n)?(?n?1)?(?n?2)???(?2)?3333333332(n?1)11111??(n?n?n?1?n?2???2)?13333331n?1(1?3)an2(n?1)3n2n11因此n?， ??1???n331?3322?3则an?

211?n?3n??3n?. 3221，且

练习

2?a?1.已知数列n的首项为

an?1?an?2n(n?N*)写出数列

?an?的通项公式.

答案：n?n?1

练习2.已知数列

{an}满足a1?3，

an?an?1?1(n?2)n(n?1)，求此数列的通项公式.

答案：裂项求和

an?2?1n

a评注：已知a1?a,n?1指数函数、分式函数，求通项

?an?f(n)an.

，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、

①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;

③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。

例3.已知数列

{an}中,

an?0Sn?且

1n(an?)2an,求数列{an}的通项公式.

Sn?解:由已知

1n1n(an?)Sn?(Sn?Sn?1?)2an得2Sn?Sn?1,

,由类型(1)有

2Sn?S12?2?3???n化简有

22Sn?Sn?1?n,

3

n(n?1)2Sn?2,又又S1?a1得a1?1,所以

2n(n?1)?2n(n?1)2

an?0sn?2n(n?1)2,,

则

an?此题也可以用数学归纳法来求解.

二、累乘法

1.适用于： an?1?f(n)an ----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。

2．若

an?1aaa?f(n)，则2?f(1)，3?f(2)，??，n?1?f(n) ana1a2annan?1?a1??f(k) 两边分别相乘得，a1k?1例4 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。

n解：因为an?1?2(n?1)5?an，a1?3，所以an?0，则

nan?1?2(n?1)5n，故anan?anan?1aa????3?2?a1an?1an?2a2a1

?[2(n?1?1)5n?1][2(n?2?1)5n?2]???[2(2?1)?52][2(1?1)?51]?3?2n?1[n(n?1)???3?2]?5(n?1)?(n?2)???2?1?3?3?2n?1n(n?1)2?5?n!n(n?1)2n?1a?3?2?5所以数列{a}的通项公式为nn?n!.

22??n?1a?na?an?1an?0n??an?1n例5.设n是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，?），

则它的通项公式是an=________.

4

解：已知等式可化为：

(an?1?an)?(n?1)an?1?nan??0

*?an?0(n?N)?(n+1)an?1?nanan?1n?ann?1 ?0, 即

ann?1?n ?n?2时，an?1?ananan?1a2an??????a1n?1?n?2??1?1an?1an?2a1=nn?12an和

=

1n.

评注：本题是关于与

an?1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到

an?1的更为明显的关系式，从而求出

an.

练习.已知

an?1?nan?n?1,a1??1,求数列{an}的通项公式.

答案：

an?(n?1)!?(a1?1)-1.

评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式

an?1?nan?n?1,转化为

an?1?1?n(an?1),出数列的通项公式.

若令

bn?an?1,则问题进一步转化为

bn?1?nbn形式，进而应用累乘法求

三、待定系数法 适用于an?1?qan?f(n)

基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

1．形如

an?1?can?d,(c?0anan,其中a1?a)型

（1）若c=1时，数列{}为等差数列;

（2）若d=0时，数列{}为等比数列;

a（3）若c?1且d?0时，数列{n}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列

来求.

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