2018-2019数学新学案同步必修四人教A版（浙江专用版）讲义：第一(2)

类型二 利用诱导公式化简 例3 化简下列各式：

tan?2π－α?sin?－2π－α?cos?6π－α?(1)；

cos?α－π?sin?5π－α?(2)

1＋2sin 290°cos 430°

.

sin 250°＋cos 790°

考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 ·sin?－α?cos?－α?

cos?2π－α?

解 (1)原式＝ cos?π－α?sin?π－α?－sin α?－sin α?cos αsin α

＝－＝－tan α.

cos αcos α?－cos α?sin α

1＋2sin?360°－70°?cos?360°＋70°?

sin?180°＋70°?＋cos?720°＋70°?sin?2π－α?

＝

(2)原式＝

1－2sin 70°cos 70°|cos 70°－sin 70°|

＝＝ －sin 70°＋cos 70°cos 70°－sin 70°sin 70°－cos 70°

＝－1.

cos 70°－sin 70°

＝

引申探究

若本例(1)改为：(n∈Z)，请化简．

cos[α－?n＋1?π]·sin[?n＋1?π－α]解 当n＝2k时，

－tan α·?－sin α?·cos α

原式＝＝－tan α；

－cos α·sin α当n＝2k＋1时，

－tan α·sin α·?－cos α?

原式＝＝－tan α.

cos α·?－sin α?反思与感悟 三角函数式的化简方法

(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．

tan?nπ－α?sin?nπ－α?cos?nπ－α?

(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数． π

(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan . 4跟踪训练3 化简下列各式： cos?π＋α?·sin?2π＋α?(1)； sin?－α－π?·cos?－π－α?cos 190°·sin?－210°?(2). cos?－350°?·tan?－585°?

考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 －cos α·sin α解 (1)原式＝ －sin?π＋α?·cos?π＋α?＝

cos α·sin α＝1.

sin α·cos α

cos?180°＋10°?·[－sin?180°＋30°?]

(2)原式＝ cos?－360°＋10°?·[－tan?360°＋225°?]

－cos 10°·sin 30°

＝

cos 10°·[－tan?180°＋45°?]

－sin 30°1＝＝. －tan 45°2

1．已知tan α＝4，则tan(π－α)等于( ) A．π－4 B．4 C．－4 D．4－π 考点 公式二、三、四 题点 公式四 答案 C

解析 tan(π－α)＝－tan α＝－4. 2．sin 585°的值为( ) A．－

2233

B. C．－ D. 2222

考点 公式二、三、四

题点 公式二 答案 A

解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°) ＝－sin 45°＝－2

. 2

3．(2018·牌头中学月考)利用诱导公式化简： sin(π－x)＝________，sin(π＋x)＝________. 考点 公式二、三、四 题点 公式四 答案 sin x －sin x

4．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为______． 考点 公式二、三、四 题点 公式二 答案 －3

解析 tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan(180°＋60°) 3＝tan 60°＝－＝3，即a＝－3. a5．化简：

cos?α－π?

·sin(α－2π)·cos(2π－α)．

sin?5π＋α?

考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 cos?π－α?

解 原式＝·[－sin(2π－α)]·cos(2π－α)

sin?π＋α?－cos α

·sin α·cos α＝cos2α. －sin α

1．明确各诱导公式的作用

诱导公式 公式一 公式二 公式三 作用 将角转化为0～2π之间的角求值 将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值 将负角转化为正角求值 ＝

公式四

2.诱导公式的记忆

π将角转化为0～之间的角求值 2这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．

3．已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为0～2π之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解．必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”．

一、选择题

1．(2017·绍兴期末)cos(π＋x)等于( ) A．cos x C．sin x

考点 公式二、三、四 题点 公式二 答案 B

解析 由诱导公式得cos(π＋x)＝－cos x.

π5π3

α－?＝，则sin?－α?的值为( ) 2．(2017·绵阳检测)已知sin??4?2?4?1133

A. B．－ C. D．－ 2222考点 公式二、三、四 题点 公式四 答案 C

5π?π

－α＝sin?π－?α－?? 解析 sin??4???4??π3α－?＝. ＝sin??4?2

B．－cos x D．－sin x

3．已知sin(π＋α)＝3

5，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )

A．－45 B.45 C．－35 D.35 考点 公式二、三、四 题点 公式二 答案 B

解析 因为sin(π＋α)＝3

5，且sin(π＋α)＝－sin α，

所以sin α＝－3

5，

又因为α是第四象限角， 所以cos(α－2π)＝cos α＝1－sin2α

＝

1－??－35??2＝45

. 4．(2017·天津一中期末)化简sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为( A．1 B．2sin2α C．0 D．2

考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 答案 D

解析 原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2. 5．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于( ) 1－k2A.k

．－1－k2Bk

C.k

k

1－k2 D．－

1－k2 考点 公式二、三、四 题点 公式三 答案 B

解析 ∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，

∴sin 80°＝1－k2

，则tan 80°＝1－k2

k

. ∴tan 100°＝－tan 80°＝－

1－k2

k

. )