2018-2019数学新学案同步必修四人教A版（浙江专用版）讲义：第一

§1.3 三角函数的诱导公式(一)

学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．

设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α)． 知识点一 诱导公式二

思考 角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)呢？它们的三角函数之间有什么关系？

答案 角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下： 诱导公式二

sin?π＋α?＝－sin α， cos?π＋α?＝－cos α， tan?π＋α?＝tan α.

知识点二 诱导公式三

思考 角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？

答案 角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：

诱导公式三

sin?－α?＝－sin α， cos?－α?＝cos α， tan?－α?＝－tan α.

知识点三 诱导公式四

思考 角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？

答案 角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下： 诱导公式四

sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α.

梳理 公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：

2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．

1．诱导公式中角α是任意角．( × )

提示 正弦、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义． 2．sin(α－π)＝sin α.( × )

提示 sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α. 41

3．cos π＝－.( √ )

32

提示 cos

π4ππ1π＋?＝－cos ＝－. ＝cos??3?332

4．诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用．( × ) 提示 在角度制和弧度制下，公式都成立．

类型一 利用诱导公式求值 命题角度1 给角求值问题 例1 求下列各三角函数式的值： (1)cos 210°；(2)sin

43π11π

－?；(4)cos(－1 920°；(3)sin?)． ?6?4

考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 解 (1)cos 210°＝cos(180°＋30°) ＝－cos 30°＝－

3. 2

3π 11π

2π＋? (2)sin＝sin?4??4π3π

π－? ＝sin＝sin??4?4π2

＝sin＝.

42

43π7π－?＝－sin?6π＋? (3)sin?6??6??π7ππ1

π＋?＝sin＝. ＝－sin＝－sin??6?662(4)cos(－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos(5×360°＋120°)

1

＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－. 2

反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式一或三来转化．

(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．

(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 跟踪训练1 求下列各三角函数式的值： (1)sin 1 320°；(2)cos?31π

?－6??；(3)tan(－945°)． 考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 解 (1)方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－

3

2

. 方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－3

2

. (2)方法一 cos??－31π6??＝cos31π

6＝cos??4π＋7π6?? ＝cos??π＋π6??＝－cos π6＝－3

2. 方法二 cos??－31π6??＝cos??－6π＋5π

6?? ＝cos??π－π6??＝－cosπ6＝－32

. (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1. 命题角度2 给值求值或给值求角问题

例2 (1)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π

2，则θ等于( A．－π6 B．－π3 C.π6 D.π3

考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 答案 D

解析 由sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，

可得－sin θ＝－3cos θ，|θ|<π

2

，

)

ππ

即tan θ＝3，|θ|<，∴θ＝. 23

π?5ππ3

－α＝，求cos?＋α?－sin2?α－?的值． (2)已知cos??6?3?6??6?考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 5π?π

＋α＝cos?π－?－α?? 解 因为cos??6???6??π?3－α＝－， ＝－cos??6?3

πππ

α－?＝sin2?－α?＝1－cos2?－α? sin2??6??6??6?＝1－?

3?22

＝， ?3?3

2＋35π?π?322??所以cos?6＋α?－sin?α－6?＝－－＝－.

333反思与感悟 (1)解决条件求值问题的策略

①解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．

②可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．

(2)对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．

1

跟踪训练2 (2017·大同检测)已知sin β＝，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )

311

A．1 B．－1 C. D．－ 33考点 诱导公式二、三、四 题点 诱导公式二 答案 D

解析 由cos(α＋β)＝－1，得α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)， 则α＋2β＝(α＋β)＋β＝2kπ＋π＋β(k∈Z)， sin(α＋2β)＝sin(2kπ＋π＋β)＝sin(π＋β) 1

＝－sin β＝－. 3