《高数》下册第十一章练习题(3)

时针方向

??xyzdz??，其中

是用平面y=z截球面

x2?y2?z2?1所得的截痕，从z轴的正向看

（6）

去，沿逆时针方向 4.计算下列曲面积分：

（1）

ds222??x?y?z??，其中

是界于z=0及z=H之间的圆柱面

x2?y2?R2

222(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy??（2）

?，

?其中

为锥面

z?x2?y2(0?z?h)的外侧

??xdydz?ydzdx?zdxdy（3）

??，其中

为半球面

z?R2?x2?y2的上侧

??xyzdxdy（4）

??，其中

为球面

x2?y2?z2?1(x?0,y?0)的外侧

xdx?ydy5.证明：x2?y2在整个xOy平面除去y的负半轴及原点的区域G内是某个二元函数的

全微分，并求出一个这样的二元函数。 6.设在半平面x>0内有力F??k?3(xi?yi)构成力场，其中k为常数，??x2?y2。证

明在此力场中场力所做的功与所取的路径无关。

7.设函数f(x)在(??,??)内具有一阶连续导数，L是上半球面（y>0）内的有向分段光华曲线，其起点为（a,b），终点为（c,d）。 记I??1x[1?y2f(xy)]dx?2[y2f(xy)?1]dy Lyy（1）证明曲线积分I与路径积分 （2）当ab=cd时，求I的值

222z?a?x?y8.求均匀曲面的质心的坐标

9.设u(x,y),v(x,y)在闭区域D上都具有二阶连续偏导数，分段光滑的曲线L为D的正向边界曲线，证明：

（1）

??v?udxdy????(grad??grad?)dxdy????DDL??ds?n

（2）

??(???????)dxdy???(?DL??????)ds?n?n

?????2?2??2?2?n，?n分别是u,v沿L的外法线向量n的方向导数，符号?x?y称二维拉其中

普拉斯算子

A=xi?yj?zk10.求向量面流向外侧的通量

通过闭区域

??{(x,y,z)0?x?1,0?y?1,0?z?1}的边界曲

F?yi?zj?xk11.求力

沿有向闭曲线

?所做的功，其中为平面

x?y?z?1被三个坐标面

所截成的三角形的整个边界，从z轴正向看去，沿顺时针方向。