《高数》下册第十一章练习题

第十一章 曲线积分与曲面积分

习题 11-1

1.设在xOy面内有一分布着质量的曲线弧L，在点（x,y）处它的线密度为?（x,y）。用对弧长的曲线积分分别表达：

（1）这曲线弧对x轴,对y轴的转动惯量IxIy

,（2）这曲线弧的质心坐标x,y

2.利用对弧长的曲线积分的定义证明性质3 3.计算下列对弧长的曲线积分： （1）（2）

??(xL2?y)ds，其中L为圆周x?acost,y?asint(0?t?2?)

2n?L(x?y)ds，其中L为连接（1,0）及（0,1）两点的直线段

2?xds，其中L为由直线y=x及抛物线y?x（3）?L所围成的区域的整个边界

?e（4）?Lx2?y2ds，其中L为圆周x2?y2?a2，直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇

形的整个边界

1tttdsx?ecost,y?esint,z?e?222?（5）?x?y?z，其中为曲线上相应于t从0变到2

的这段弧 （6）

??x2yzds，其中?为折线ABCD，这里A,B,C,D依次为点（0,0,0）

，（0,0,2），（1,0,2），y2ds，

，其中L为摆线的一拱x?a(t?sint),y?a(1?cost)(0?t?2?)

（1,3,2） （7）?（8）

L?L(x2?y2)ds，其中L为曲线x?a(cost?tsint),y?a(sint?tcost)(0?t?2?)

4.求半径为ａ，中心角为

2?的均匀圆弧（线密度??1）的质心

0?t?2?，它的线密度

5.设螺旋形弹簧一圈的方程为x?acost,y?asint,z?kt，其中

?(x,y,z)?x2?y2?z2．求：

I（１）它关于ｚ轴的转动惯量z

（２）它的质心。

习题 11-2

1.设L为xOy面内直线x?a上的一段，证明：

?LP(x,y)dx?0

2.设L为xOy面内x轴上从点（a,0）到点（b,0）的一段直线，证明：

?LP(x,y)dx??P(x,0)dxab

3.计算下列对坐标的积分： （1）?(xL2?y2)dx，其中L是抛物线

y?x2上从点（0,0）到点（2,4）的一段弧

（2）

??Lxydx2(x?a)2?y2?a（a>0）及x轴所围成的在第一象限内的区，其中L为圆周

域的整个边界（按逆时针方向绕行） （3）

?Lydx?xdy，其中L为圆周

x?Rcost,y?Rsint上对应t从0到

?2的一段弧

(x?y)dx?(x?y)dy222x+y?a（4）?L（按逆时针方向绕行） x2?y2，其中L为圆周

（5）??x2dx?zdy?ydz，其中

?为曲线x?k??y?acos?,z?asin?上对应?从0到??是从点（1,1,1）到点（2,3,4）的一段直线

的一段弧 （6）（7）

??xdx?ydy?(x?y?1)dz，其中

，其中

??dx?dy+ydz?2L?为有向闭折线ABCD，这里的A,B,C依次为点

(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) （8）?(x的一段弧 4.计算

?2xy)dx?(y2?2xy)dy，其中L是抛物线

y?x2上从点（-1,1）到点（1,1）

?(x?y)dx?(y?x)dy，其中L是：

L2y?x上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧 （1）抛物线

（2）从点（1,1）到点（4,2）的直线段

（3）先沿直线从点（1,1）到点（1,2），然后再沿直线到点（4,2）的折线

22x?2t?t?1,y?t?1上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧 （4）曲线

222x?y?R5.一力场由沿横轴正方向的恒力F所构成，试求当一质量为m的质点沿圆周按

逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功

6.设z轴与动力的方向一致，求质量为m的质点从位置（x,y,z）沿直线移到（x,y,z）时重力所做的功

7.把对坐标的曲线积分

?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy化成对弧长的积分曲线，其中L为：

（1）在xOy面内沿直线从点（0,0）到点（1,1）

2y?x（2）沿抛物线从点（0,0）到点（1,1）

22x?y?2x从点（0,0）到点（1,1） （3）沿上半圆周

23x?t,y?t,z?t?为曲线上相应于t从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分8.设

?

?Pdx?Qdy?Rdz化成对弧长的曲线积分

习题 11-3

1.计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性： （1）

??L(2xy?x2)dx?(x?y2)dyy?x2和y2?x所围成的区域的

，其中L是由抛物线

正向边界曲线 （2）

??L(x2?xy2)dx?(y2?2xy)dy，其中L是四个顶点分别为（0,0），（2,0），（2,2），（0,2）

的正方形区域的正想边界

2.利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积 （1）星形线

x?acos3t,y?asin3t

22（2）椭圆9x+16y?144 （3）圆x?y?2ax

22ydx?xdy22(x?1)?y?2，L的方向为逆时针方向 ?L2(x2?y2)3.计算曲线积分?，其中L为圆周

4.证明下列曲线积分在整个xOy面内与路径无关，并计算积分值

?（1）

（2）

(2,3)(1,1)(3,4)(x?y)dx?(x?y)dy

?(1,2)(2,1)(6xy2?y3)dx?(6x2y?3xy2)dy(2xy?y4?3)dx?(x2?4xy3)dy

?（3）

(1,0)5.利用格林公式，计算下列曲线积分：

(2x?y?4)dx?(5y?3x?6)dy??（1），其中L为三顶点分别为（0,0），（3,0）和（3,2）

L的三角形正向边界；

?(x（2）?L2ycosx?2xysinx?y2ex)dx?(x2sinx?2yex)dy23，其中L为正向星形线

x?y?a(a?0)（3）

2323

，其中L为在抛物线

?L(2xy3?y2cosx)dx?(1?2ysinx?3x2y2)dy2x??y2上由点

?（0,0）到（2）的一段弧

，1

(x（4）?L2?y)dx?(x?sin2y)dyy?2x?x2上由点（0,0）到点（1,1），其中L是在圆周

的一段弧

6.验证下列P(x,y)dx?Q(x,y)dy在整个xOy平面内是某一函数u(x,y)的全微分，并求这样的一个u(x,y)：

（1）(x?2y)dx?(2x?y)dy

22xydx?xdy （2）

（3）4sinxsin3ycosxdx?3cos3ycos2xdy

2232y(3xy?8xy)dx?(x?8xy?12ye)dy （4）

22(2xcosy?ycosx)dx?(2ysinx?xsiny)dy （5）

7.设有一变力在坐标轴上的投影为X?x?y,Y?2xy?8，这变力确定了一个力场。证明质点在此场内移动时，场力所做的功与路径无关。

?28.判断下列方程中哪些是全微分方程？对于全微分方程，求出它的通解。

2222(3x?6xy)dx?(6xy?4y)dy?0 （1）

222(a?2xy?y)dx?(x?y)dy?0(a为常数) （2）

（3）edx?(xe?2y)dy?0

（4）(xcosy?cosx)y?ysinx?siny?0

2(x?y)dx?xdy?0 （5）

2y(x?2y)dx?xdy?0 （6）

yy2?2?(1?e)d??2?ed??0 （7）

22(x?y)dx?xydy?0 （8）

42?242??A(x,y)?2xy(x?y)i?x(x?y)j为某，使在右半平面x>0上的向量9.确定常数

二元函数u（x,y）的梯度，并求u(x,y)

习题 11-4

1.设有一分布着质量的曲面

?，在点（x,y,z）处它的面密度为

?（x,y,z）,用对面积的曲

面积分表示这曲面对于x轴的转动惯量 2.按对面积的曲面积分的定义证明公式

??f(x,y,z)ds???f(x,y,z)ds???f(x,y,z)ds??1?2

?是由?1其中

和

?2组成的

3.

当

?是xOy面内的一个闭区域时，曲面积分??f(x,y,z)dS?与二重积分有什么关系？

4.计算曲面积分

???f(x,y,z)dS，其中

?为抛物面z?2?(x2?y2)在xOy面上方的部分，

f(x,y,z)分别如下：

（1）f(x,y,z)?1