《高数》下册第十一章练习题(2)

22f(x,y,z)?x?y（2）

（3）f(x,y,z)?3z

5.

计算??（x2+y2）dS,其中?是：?

（1）

锥面z?x2?y2及平面z?1所围成的区域的整个边界曲面

222锥面z?3(x?y)被平面z?0和z?3所截得的部分 （2）

6.计算下列对面积的曲面积分：

（1）（2）（3）

4xyz（z+2x+y）ds,其中?为平面???1在第一卦限中的部分??3234?2?

（2xy-2x-x+z）ds,其中?为平面2x+2y+z=6在第一卦限中的部分????(x?y?z)ds,其中?为球面x?2?y?z?a上z?h(0?h?a)的部分222（4）

2222（xy+yz+zx）ds,其中?为锥面z=x?y被柱面x?y?2ax所截得的有限部分???求抛物面壳z?7.

122(x?y)(0?z?1)的质量，此壳的面密度为?=z2

求面密度为?0的均匀半球壳x2+y2+z2=a2(z?0)对于z轴的转动惯量8.

习题 11-5

1.按对坐标的曲线面积的定义证明公式 2.

??[P(x,y,z)?P(x,y,z)]dydz???P(x,y,z)dydz???P(x,y,z)dydz

1212???当?为xOy面内的一个闭区域时，曲面面积??R（x,y,z）dxdy与二重积分有什么关系？?

3.计算下列对坐标的曲面积分：

（1）

??x?2y2zdxdy,其中?是球面x2?y2?z2?R2的下半部分的下侧

22zdxdy?xdydz?ydzdx,其中?是柱面x?y?1被平面z?0及z?3s所截得的???（2）在第一卦限内的部分的前侧

??[f(x,y,z)?x]dydz?[2f(x,y,z)?y]dzdx?f(x,y,z)?z]dxdy,其中f(x,y,z)为??是平面x?y?z?1在第四卦限部分的上侧（3）连续函数，

（4）

???xzdxdy?xydydz,其中?是平面x?0,y?0,z?0,x?y?z?1所围成的空间?区

域的整个边界曲面的外侧 4.把对坐标的曲面积分

（x,y,z）dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy ??P?化成对面积的曲面积分其中

（1）?是平面3x?2y?23z?6在第一卦限的部分的上侧 （2）?是抛物面z?8?(x2?y2)在xOy面上方的部分的上侧

习题 11-6

1.利用高斯公式计算曲面积分： （1）

222xdydz?ydzdx?zdxdy，其中?为平面x=0,y=0,z=0,x=a,y=a,z=a所围成的立体????的表面的外侧 （2）（3）

???xdydz?ydzdx?zdxdy，其中?为球面x?3332?y2?z2?a2的外侧

，其中?为上半球体

???xzdydz?(xy?z)dzdx?(2xy?yz)dxdy?22320?z?a2?x2?y2,x2?y2?a2的表面的外侧

（4）

???xdydz?ydzdx?zdxdy，其中?是界于z=0和z=3之间的圆柱体x?2?y2?9的

整个表面的外侧

（5）

???4xzdydz?y?2dzdx?yzdxdy，其中?是平面x=0,y=0,z=0,x=1,y=1,z=1所围成的

立方体的全表面的外侧

2.求下列向量A穿过曲面?流向指定侧的通量：

222（1）A?yzi?xzj?xyk，?为圆柱x?y?a(0?z?h)的全表面，流向外侧 22A?(2x?z)i?xyj?xzk，?为立方体0?x?a,0?y?a,0?z?a的全表面，（2）

流向外侧

（3）A?(2x?3z)i?(xz?y)j?(y?2z)k，?是以点（3，-1,2）为球心，半径R=3的球面，流向外侧

3.求下列向量场A的散度：

（1）A?(x?yz)i?(y?xz)j?(z?xy)k

xy2A?ei?cos(xy)j?cos(xz)k （2）

2A?yi?xyj?xzk （3）

22224.设u(x,y,z),v(x,y,z)是两个定义在闭区域?上的具有二阶连续偏导数的函数，?n?n依次

,表示

u(x,y,z),v(x,y,z)沿

?u?v?的外法线方向的方向导数。证明

???(u???v?u)dxdydz???(u???v?u?v)ds， ?n?n其中

?是空间闭区域?的整个边界曲面，这个公式叫做格林第二公式。

5.利用高斯公式推证阿基米德原理，浸没在液体中的物体所受液体的压力的合力（即浮力）的方向沿铅直向上，其大小等于这物体所排开的液体的重力

习题 11-7

222222试对曲面?：z?x?y,x?y?1,P?y,Q?x,R?z验证斯托克斯公式 1.

2.利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分：

?ydx?zdy?xdz，其中?为圆周x（1）??2?y2?z2=a2,x?y?z?0，若从x轴的正向

看去，这圆周是取逆时针方向 （2）

??(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz，其中?为

?xzx?y?a,??1(a?0,b?0)，若从x轴的正向看去，这圆周是取逆时针方向 椭圆ab23ydx?xzdy?yzdz，其中?为圆周x2?y2?2z,z?2，若从z轴的正向看去，?（3）??这圆周是取逆时针方向 （4）

???2222ydx?3xdy?z2dz，x?y?z?9,z?0，?其中为圆周若从x轴的正向看去，

这圆周是取逆时针方向

3.求下列向量场A的旋度：

（1）A?(2z?3y)i?(3x?z)j?(y?2x)k （2）A?(z?siny)i?(z?xcosy)j

22A?xsinyi?ysin(xz)j?xysin(cosz)k （3）

4.利用斯托克斯公式把曲面积分n分别如下：

??rotA?nds化为曲线积分，并计算积分值，其中A，?及

?222z?1?x?y?A?yi?xyj?xzk（1），为上半球面的上侧，n是的单位法向量

（2）A?(y?z)i?yzj?xzk，?为立方体{(x,y,z)0?x?2,0?y?2,0?z?2}的表面

?的单位法向量

外侧去掉xOy面上的那个底面，n是

5.求下列向量场A沿闭曲线?（从z轴正向看?依逆时针方向）的环流量

22A??yi?xj?ckx?y?1,z?0 ?（1）（c为常量），为圆周

2232z?2?x?y,z?0 A?(x?z)i+(x?yz)j?3xyk?（2），其中为圆周

6.证明7.设

rot(a?b)?rota?rotb

u?u(x,y,z)具有二阶连续偏导数，求

rot(gradu)

总习题十一

1.填空

（1）第二类曲线积分

??Pdx?Qdy?Rdz化成第一类曲线积分是————，其中?，?，

?为有向曲线弧?在点（x,y,z）处的—————的方向角

（2）第二类曲线积分

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy化成第一类曲线积分是————，其中

??，?，?为有向曲面?在点（x,y,z）处的—————的方向角

2.选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论：

2222?x?y?z=R(z?0)，曲面?1是曲面?在第一卦限中的部分，设曲面是上半球面：

则有——————。 （A）（B） (C) (D)

??xds?4??xds

??1??yds?4??xds

??1?1??zds?4??xds

???xyzds?4??xyzds??1

3.计算下列曲线积分：

（1）

????Lx2?y2ds，其中L为圆周

x2?y2?ax

zds，其中

?为曲线

x?tcost,y?tsint,z?t(0?t?t0)

（2）

?(2a?y)dx?xdyLx?a(t?sint),y?a(1?cost)，其中L为摆线

上对应t从0到

2?（3）的一段弧

?(y?2?z2)dx?2yzdy?x2dz，其中是曲线

x?t,y?t2,z?t3上由

t1?0到

t2?1的

（4）一段弧

?(esiny?2y)dx?(ecosy?2)dyLxx(x?a)2+y2?a2,y?0，其中L为上半圆周

沿逆

（5）