考研数学复习高等数学一元函数积分学(4)

【例65】设平面曲线，，过点的平面曲线是单调增加函数，，过上任一点分别作垂直于和轴的直线和，记，与所围成的面积为，记，与所围成的面积为，，求的方程。 解：先画出草图。显然三曲线交点为，在最上面，在最下面。

为上下曲， 为左右曲，

【例66】求的的部分与轴所围平面图形的面积。 解：设所求面积为

【例67】求半径为圆的渐伸线内的弧长。 解：圆的渐伸线方程为：

【例68】求曲线及所围成的图形绕直线旋转一周的体积。 解：

【例69】由与确定的区域记为，求绕直线旋转一周所生成的旋转体的体积。 解：

【例70】过原点作平面曲线的切线，求该曲线和切线与轴围成的图形绕旋转一周的旋转体的表面积。

解：设切点为，，则切线方程为： ，又在切线上，则 得切线方程为：。

由曲线绕旋转一周的旋转体的表面积应等于绕即轴旋转一周的旋转体的表面积：

由直线线绕旋转一周的旋转体的表面积应等于绕即轴旋转一周的旋转体的表面积：

由直线绕旋转一周的旋转体的表面积应等于绕即轴旋转一周的旋转体的表面积：

因此：旋转体的表面积。 【例71】设在上连续非负，，在内，，设为区域的形心，求证：。 证明：，要证，等价于要证明： 构造辅助函数：

同步练习设在上连续非负，，，设为区域的形心，求证：。 证明：，要证，等价于要证明： 构造辅助函数：

【例72】假设区域由曲线及其过点的切线与轴围成，其形心为。 （1） 求的值；

（2） 求的值，使绕轴一周而生成的旋转体体积为 解：（1）

（2）

可见灵活运用古尔金定理，可以大大简化计算，顺便说一句，读者放心使用古尔金定理，不要担心国家阅卷组的认可。

第三章一元函数积分学模拟题一、填空题 1、已知，则 2、已知，则

3、已知的一个原函数为，则 4、已知，且，则= 5、 6、

7、设=，则=

8、设有一个原函数，则 9、= 10、

11、设=则

12、设连续且，则 13、 14、

15、设，则常数 16、 17、

18、由曲线与两直线及所围成的平面图形的面积是 19、曲线与直线所围成的平面图形的面积是 二、选择题

1、若的导函数是，则有一个原函数为

（A）1+sinx （B）1-sinx （C）1+cosx （D）1-cosx 2、在下列等式中，正确的结果是 （A）（B） （C）（D） [ ]

3、设函数与在[0，1]上连续，且，且对任何， （A）（B） （C）（D） [ ]

4、设=，其中=则在区间内

（A）无界（B）递减（C）不连续（D）连续 [ ] 5、设，其中为连续函数。则等于 （A）（B）（C）0 （D）不存在 [ ] 6、设是连续函数，且，则等于

[ ]

（A）（B） （C）（D） [ ]

7、设函数在区间上连续，且，则方程 在开区间内的根有

（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个 [ ] 8、设=，则

（A）在点连续（B）在内连续，但在点不可导 （C）在内可导，且满足

（D）在内可导，但不一定满足 [ ] 9、下列广义积分中收敛的是 （A）（B） （C）（D） [ ]

10、下列广义积分中发散的是 （A）（B） （C）（D） [ ]

11、下列结论中正确的是 （A））与都收敛（B）与都发散 （C）发散收敛（D）收敛发散 [ ]

12、双纽线所围成的区域面积可用定积分表示为 （A）（B） （C）（D） [ ] 三、解答题

1、求 2、求 3、求不定积分 4、求不定积分 5、求不定积分I=

6、计算I= 7、已知是函数的一个原函数，求 8、求不定积分

9、设为的原函数，且当时，=，已知，试求。 10、设，求。 11、求 12、求 13、求定积分 14、设求

15、如图1—4—13所示，曲线C的方程为，点是它的一个拐点，直线与分别是曲线C在点（0，0）与（3，2）处的切线，其交点为（2，4），设函数具有三阶连续导数，计算定积分 16、求函数在区间上的最大值。 17、求极限。

18、设函数可导，且，求。 19、已知连续，，求。 20、设函数在内连续，，且对所有，满足条件 ，求。

21、求极限。

22、已知，求常数的值。

23、计算。 24、计算I=

25、设函数在区间上连续，且在内有，证明：在内存在唯一的，使曲线与两直线所围平面图形面积是曲线与两直线所围平面图形面积的3倍。

26、过曲线上某点A作一切线，使之与曲线及x轴所围平面图形面积为，试求：（1）切点A的坐标；（2）过切点A的切线方程；（3）由上述所围成平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。

27、假设曲线：与x轴，y轴所围成区域被曲线：分成面积相等的两部分，其中是大于零的常数，试确定的

值。

28、设曲线方程为。

（1）把曲线，x轴，y轴和直线所围成平面图形绕x轴旋转一周，得一旋转体，求此旋转体的体积及满足的

29、已知曲线与曲线在点处有公共切线，求 （1）常数及切点；

（2）两曲线与x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积。 30、求心形线的全长，其中且为常数。

31、已知一抛物线通过x轴上的两点A（1，0），B（3，0）。 （1）、求证两坐标轴与该抛物线所围成图形的面积等于x轴与该抛物线所围图形的面积； （2）、计算上述两个平面绕x轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比。

32、设直线与抛物线所围成图形面积为，它们与直线x=1所围成图形面积为，并且。 （1）试确定的值，使+达到最小，并求出最小值；

（2）求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

33、已知抛物线，在第一象限内与直线相切，且抛物线与x轴所围成的平面图形面积为 （1）问p和q为何值时，到达最大值？（2）求出此最大值。

34、设是抛物线和直线及所围成的平面区域；是由抛物线和直线所围成的平面区域，其中。 （1）试求绕x轴旋转而成的旋转体的体积；绕y轴旋转而成的旋转体的体积； （2）问为何值时，+取得最大值？试求此最大值。

35、设S表示夹在x轴与曲线之间的面积。对任何表示矩形的面积。求 （1）的表达式；（2）的最小值。

36、在坐标平面上，连续曲线L过点M（1，0），其上任意点P（x，y）处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于。

（1）求L的方程；（2）当L与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值。

第三章一元函数积分学习题答案

一、填空题

1、 2、 3、 4、

5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、

15、2 16、 17、1 18、 19、 二、选择题 1、（B） 2、（C） 3、（D） 4、（D） 5、（B） 6、（A） 7、（B） 8、（B） 9、（C） 10、（A） 11、（D） 12、（A） 三、解答题

1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、

10、 11、 12、 13、 14、

15、20 16、 17、 18、 19、1 20、 21、 22、 23、ln2 24、

25、[提示]先求出平面图形面积的表达式，再通过介值定理得存在性，利用单调性证明唯一性。 26、（1）A的坐标为（1，1）；（2）切线方程为（3） 27、 28、（1）；（2） 29、（1），切点为；（2） 30、 31、（1），； …… 此处隐藏：1505字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……