考研数学复习高等数学一元函数积分学(3)

，

常常用作基准发散的反常积分也有3个

评注应用例子：

，由于等效的，故原反常积分发散。 ，由于，根据“大收

小收”的原则，故原反常积分发散收敛。 ，使用比阶法：。根据“同价同敛散”的原则，故原反常积分收敛。 如果反常积分收敛，求的范围。 属于混合反常积分

是无界函数的反常积分，只有当，收敛（由于，故此时），是无穷区间的反常积分，只有当，收敛，由于，而此）不影响收敛，综合上诉得：，。

三、定积分的计算方法与技巧

1、利用不定积分公式和重要结论

【例41】

解：，为奇函数， ，为偶函数，

根据对称区间定积分的特点，所以

=0

【例42】

解：

评注一般隐含边界为绝对值时，令绝对值内的函数为零，解出分界点，再分段积分。但对象本题的三角函数积分类，由于在积分区间内分界点超过了2个，不宜使用该法，而利用周期函数积分公式。但如果本题积分区间改为，则就可以利用分段积分法了，即。 【例43】 I（） 解：利用

【例44】

解: 利用：

【例45】 设，的一个原函数为，求。

解：

【例46】连续，（1）求证： （2）求 解：（1）令

又因为：

（2）

【例47】

解：令

【例48】 解：令

【例49】求的极值。

解：先分段求极值，再讨论分段点处的连续性。

又当

在处

处连续；但 导数不存在， 但当很小时，，故在处取得极大值1。 【例50】设在上可导，，求的极值点。 解：

故：是的极小值点。 【例51】计算积分 解：

评注定积分的计算主要方法还是换元、凑微分和分步积分，目的也是“两去”，即去根号和去

分母；基础手段是对称区间公式、周期函数积分公式和代数面积几何法。

2、几何法

【例52】利用几何法计算下列积分：

解：

等于边长长1 的三角形面积。

等于边长为的三角形和就、张角等于的弧形面积之和。

等于椭圆的面积。

评注读者可以利用公式验证上述结论；这类题型只有在积分区域为圆或圆上的一部分或椭圆上规范区域（一般由上下限决定）才能够使用几何法。 【例53】设在上连续且递减，，证明： 证明：使用区间变换。

【例54】求

解：

设以这种方式趋于正无穷大：

【例55】 解：

【例56】

解：

【例57】求

解：混合反常积分问题的题型

【例58】讨论积分的值：

解：首先需要判敛。由于 。

，但在积分区间只有是被积函数的瑕点。故

【例59】试证明：。

证明：先判敛：选基准。根据“大收小收” 的原则，原反常积分收敛。

要证明原不等式，右边很简单，因为在区间内，由积分保序性知。左边只要在区间内求出的最小值即可。

【例60】设，证明：曲线在区间上与轴围成的区域右面积存在，并求之。 解：依题意是求，由于是无穷区间的反常积分，选基准收敛函数 ，根据“大收小收”的原则，故收敛，面积存在。则

【例61】求

解：令，利用画数轴的方法容易得出各积分子区间。

【例62】求

解：令，故而不能取其他区间的值。

评注对于含参积分问题，必须优先明确参数的取值范围，写出分段函数形式。

第四节定积分的应用

元素法总则：在微分元范围内，任何曲线和直线等价，任何物理变量可以用常量代换。

一、5大几何应用

陈氏第5技上下原函横面积，左右反函横周长；两轴轮换形除外，平移双函识减符。

1.1平面图形的面积应用

称为左右曲不相交图形

，

称为上下曲相交图形

评注既然是定积分应用，当然积分方向以常数区间为准。对上下曲不相交图形，被积函数为上原函数减去下原函数（远减近），对左右曲不相交图形，被积函数为右反函数减去下反函数（远减近），对于相交图形则为远减近的绝对值，画图以面积所在的位置定正负。 1.2 平面曲线的弧长

1.3 旋转体积

评注对左右曲图形。如果旋转轴为平行于或的直线，比如上下曲绕，如在两曲线的上方，则旋转的体积，则计算如下（其余类推）：

设为离旋转轴的近曲线，为离旋转轴的远曲线，则体积元及体积为：

形象记忆法：上述公式靠死记是不行的，时间长了必会混淆，但你仔细观察一下有规律： 上下曲绕及其平行轴和上下曲绕及其平行轴利用圆面积，其余情形用圆的周长。而且上下曲，定积分方向为，左右曲为，这是定积分要求的；和在形式上满足“导数”关系；还有个特征就是，是交替出现的，如中，而中。 1.4 旋转体的侧面积（对于上下曲图形）

形象记忆法：，交替出现。 1.5 形心（重点）

质心是针对实物体而言的，而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心是重合的。

● 曲线形心（在多元函数积分应用时，还有平面和图形和空间图形的形心问题，请对照。） 静力矩定义：

形心坐标

评注对质心只要在每项积分中加入线密度为即可，当常数，即几何体均匀时， 质心与形心完全重合，上述公式通用，下同。 上述形心公式与旋转体的侧面积联系起来，便得到： 古尔金第一定理： ● 面密度为的均匀平面薄板的形心（上下曲型）

评注对质心只要在每项积分中加入密度函数即可。 上述形心公式与旋转体的体积积联系起来，便得到： 古尔金第二定理： 二、4大物理应用（物理应用几何应用+物理定理）

2.1压力或浮力问题（以球形物体受到的水压为例）

2.2引力（万有引力或电场力）问题

例如在轴上有一根长为，均匀质量密度为的木棒，中心放在原点，在轴上处有一个单位质点，则万有引力计算如下：

又如在轴上有一根长为，均匀电荷密度为的木棒，中心放在原点，在轴上处有一个单位电荷，则电场力计算如下：

2.3 做功问题

2.4 质心问题

【例63】与轴所围部分的面积为

解：本题为求几何面积，与轴的交点为，

而故正确。

【例64】求曲线与所围图形的较小部分的面积。

解：两曲线的交点为，为上下曲，则