考研数学复习高等数学一元函数积分学(2)

解：特殊换元法：令

6、多级分部积分法

多项式的各阶导数… 0 其他函数的各级积分…

陈氏口诀代换变形多项式；逐次微分直到零；其余积分零对齐；交叉相乘正负和。

【例31】

表格：

读者参照陈氏第4技同步练习： 【例32】

表格：

7、递推法与倒推法

【例33】递推式一般首先采用分部积分法，

解：

可作为公式用。 【例34】 解：

【例35】 解：

同步练习： 【例36】 解：

7、有理函数的积分可化为整式和如下四种类型积分 ① ②

③，再用【例33】方法

④

评注：上述公式不必记忆，但方法的本质是想办法消除分母的一次项，再用【例33】的结论。具体问题的求解是这一思想出发的。 8、抽象函数和分段函数的不定积分 【例37】已知；求

解：

【例38】求

解：此类题的定式做法是：关键是画图得出分段区间，化成分段函数后，再积分。

由于分段函数的连续性知：

评注对于含有绝对值的函数积分，一般见于定积分题型中，方法是：先令绝对值的项等于零，画图再确定能去掉绝对值的区间，然后分区段积分，详见定积分部分例题。但也可作不定积分： 如

【例39】设满足，且当，求的表达式。 解：

【例40】设在上可导，，其反函数为，若，求。 解：令

第三节一元函数积分学之三（定积分与反常积分）

一、定积分“三基”内容：

1．定义：“脑中有模型，结构心理存，两个关键点，定义得分明。”

两个关键点：定积分是结构性的，它是积分和式的极限，而且该极限的结果与区间的分法与各子区间中点的取法无关。 模型是：积分图；

结构是：极限形式；具体来说：

1）定对象：有限区间的有界函数；

2）分区间：将分为个子区间，其中规定：，子区间与分法无关，内共有个点，中间插入个点，其中等分区间只是其中的一种分法；

3）作乘积：在内任意取一点，与取法无关，作乘积，其中：； 对等分情况： 4）求和式：； 5）取极限：；

6）作结论：极限存在，且与区间分法和子区间内点的取法无关时，才是在闭区间上的定积分。 定积分的定义的数学形式：（实际使用中比较常见）

重点应用公式：

下列重要结论成立：

如： 2) 3)

2．重要结论：

①积分7个常用比较定理： 上连续，恒正或恒负或；且 上连续，任意子区间 上连续，，且不恒为零， 上连续，；且

积分保序定理：上连续，，则

柯西不等式：

②积分估值定理：

③积分中值定理（平均值公式）：

函数在上的均方根公式：

④函数在对称区间的积分特点：

；

评注，因为该积分为广义积分，与定积分定义不符。

⑤周期函数的积分特性：

例如的应用：

⑥积分高级技巧：

如求及等题型。

。

用面积法解释的积分方法。 常用奇函数， 常用偶函数

如果关于轴对称，那么： ；

关于轴对称, 对多元函数积分有类似结论。

⑦华里士公式：

形象记忆掌握法：奇奇1；偶偶半。

意思是：当n为奇数时，分母每项也为奇数，分子相应递减，且结论最后一项为1；当n为偶数时，分母每项也为偶数，分子相应递减，且结论最后一项为（半）。

如：

●如积分区域不是，常用的转换公式有： ⑧

⑨

⑩具有特殊功能的定积分四大区间变换

评注区间变换广泛用于积分的合并与拆分，也是处理含参积分问题和大部分积分证明题 的主要手段。

二、反常积分的判敛和计算方法

2.1 反常积分的几何意义

反常积分存在时的几何意义：函数与轴所围面积存在有限值时，函数在一点的值发散，不会导致面积的发散。

例如的几何意义是：位于曲线之下，轴之上，直线与之间的图形面积，而点的值虽使发散，但面积可求。

2.2 反常积分的两种类型

无穷区间的反常积分

无界函数的反常积分，又称瑕积分（每个被积函数只能有一个瑕点）

其中：

评注如果反常积分为上述两类的混合型，则拆分几分区间，使原几分为无穷区间和无界函 数两类反常积分之和，参见【例55】。

2.3 数学AB或甲乙常考的特殊反常积分（读者根据各自需要选学） 概率积分 函数 函数

与函数的关系： 准概率积分

玻色积分

例如试证明：

2.4 常用反常积分的敛散判断结论

反常积分的敛散判断本质上是极限的存在性与无穷小或去穷大的比阶问题。首先要记住两类反常积分的收敛尺度：对第一类无穷限而言：当，为无穷小，并且无穷小的阶次不能低于尺度，才能保证收敛；对第二类无界函数而言：当，并且无穷大的阶次不能高于尺度，才能保证收敛；这个尺度常常取1。

以下是简化模型的收敛四种实用判断，请务必在理解的基础上记住。

陈氏第4技反常积分敛散性判定的模型和基准

★比阶法：设在上可积，在不变号，且 ●有相同的敛散性 ●收敛收敛 ●发散发散

陈氏形象记忆法大收小收；小发大发，同价同敛散。

为基准反常积分函数，常常用作基准收敛的反常积分主要有3个：