2016届四川省成都七中高三（下）入学数学试卷（文科）（解析版）(4)

当n≥2时，Sn﹣1=则bn=Sn﹣Sn﹣1=9﹣又n=1时，所以bn=

．

=6=b1，

， ﹣[

]=

，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=所以cn=an?bn=（n+1）

，bn=

，

，

所以Tn=2×（）﹣1+3×（）0+4×（）1+…+（n+1）×（）n﹣2 …（1） 等式两边同乘以得

Tn=2×（）0+3×（）1+4×（）2+…+（n+1）×（）n﹣1…（2） （1）﹣（2）得

Tn=2×（）﹣1+（）0+（）1+…+×（）n﹣2﹣（n+1）×（）n﹣1=6+

﹣（n+1）×（）n﹣1， 所以Tn=

﹣

（）n﹣2．

20．设函数f（x）=ex+ax+b在点（0，f（0））处的切线方程为x+y+1=0． （Ⅰ）求a，b值，并求f（x）的单调区间； （Ⅱ）证明：当x≥0时，f（x）＞x2﹣4． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义以及切线方程建立方程关系即可求a，b值以及f（x）的单调区间；

（Ⅱ）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值关系即可证明不等式． 【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=ex+a， 由已知，f′（0）=﹣1，f（0）=﹣1， 故a=﹣2，b=﹣2， f′（x）=ex﹣2，

当x∈（﹣∞，ln2）时，f′（x）＜0，当x∈（ln2，+∞）时，f′（x）＞0， 故f（x）在（﹣∞，ln2）单调递减，在（ln2，+∞）单调递增；… （Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣（x2﹣4）=ex﹣x2﹣2x+2，

g′（x）=ex﹣2x﹣2=f（x）在（ln2，+∞）单调递减，在（﹣∞，ln2）单调递增， 因为g′（0）=﹣1＜0，g′（2）=e2﹣6＞0，0＜ln2＜2，

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所以g′（x）在[0，+∞）只有一个零点x0，且x0∈（0，2），当x∈[0，x0）时，g′（x）＜0， 当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，

即g（x）在[0，x0）调递减，在（x0，+∞）时，单调递增， 当x≥0时，g（x）≥g（x0）=

=4﹣

=2x0+2，

＞0，

即f（x）＞x2﹣4，…

21．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的端点A、B分别在x，y轴上滑动，点M在线段AB上，且|AM|=2|MB|，

（1）若点M的轨迹为曲线C，求其方程；

（2）过点P（0，1）的直线l与曲线C交于不同两点E、F，N是曲线上不同于E、F的动点，求△NEF面积的最大值．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（1）设A，B，M的坐标，根据|AM|=2|MB|，确定坐标之间的关系，利用长度为3的线段AB的端点A、B分别在x，y轴上滑动，求出轨迹方程，即可求出曲线C的方程；

y=kx+1代入椭圆方程，（2）分类讨论，直线的斜率存在时，设l：利用弦长公式，求出|EF|，

再求出l，l′的距离，表示出△NEF面积，利用导数法，即可得到△NEF面积的最大值． 【解答】解：（1）设A（x0，0），B（0，y0），M（x，y） ∵|AM|=2|MB|， ∴

，

∴x0=3x，y0=y，

∵长度为3的线段AB的端点A、B分别在x，y轴上滑动， ∴x02+y02=9 ∴

=1，

∴曲线C的方程是=1 …..

（2）当直线的斜率不存在时，即l：x=0，此时（S△NEF）max=2 ….. 当直线的斜率存在时，设l：y=kx+1，E（x1，y1），F（x2，y2）， y=kx+1代入椭圆方程，可得（4+k2）+2kx﹣3=0， 有x1+x2=﹣∴|EF|=

，x1x2=﹣

，

…..

由题知过N的直线l′∥l，且l′与椭圆切于N点时，S△NEF最大， 故设l′：y=kx+b（b≤﹣2）

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联立l′与椭圆方程得（4+k2）+2kbx+b2﹣3=0，此时△=0，可得k2=b2﹣4 l，l′的距离d=

，

∴S△NEF=?

∴（S△NEF）2=4（1+）

?=（b≤﹣2），…..

（b≤﹣2）

设y=（S△NEF）2，t=（﹣≤t＜0）， 有y=4（1+t）（1﹣t）3，

∴y′=﹣8（1﹣t）2（2t+1）＜0， ∴函数y在（﹣，0），上单调递减， ∴当t=﹣时，函数y取得最大值综上所述，（S△NEF）max=

，即b=﹣2时，（S△NEF）max=

＞2

…．．

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2016年10月25日

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