2007年高考数学试题及答案（山东理）(2)

8642-10-5510 15． (x?2)2?(y?2)2?2【分析】：曲线化为(x?6)2?(y?6)2?18，其圆心到直线x?y?2?0的距

6?6?22离为d??52.所求的最小圆的圆心在直线y?x上，其到直线的距离为2，圆心坐标为

(2,2).标准方程为(x?2)?(y?2)?2。

142212108642-10-5510-2 16． 8。【分析】：函数y?loga(x?3)?1(a?0,a?1)的图象恒过定点A(?2,?1)，

(?2)?m?(?1)?n?1?0，2m?n?1，m,n?0，

1m?2n?(1m?2n)?(2m?n)?4?nm?4mn?4?2nm?4mn?8.

三．解答题：

（17）解：（Ⅰ）?a1?3a2?3a3?…?3?当n≥2时，a1?3a2?3a3?…?32n?22n?1an?nan?1?3n?13， ① ． ②

13①-②得3n?1an?13，an?13n．在①中，令n?1，得a1?．?an?13n．

（Ⅱ）?bn?nan2n，?bn?n3．

?Sn?3?2?3?3?3?…?n3， ③ ?3Sn?3?2?3?3?3?…?n3234n?13n． ④

6

④-③得：?2Sn?n3n?1?(3?32?33?…?3n)．

n?1即2Sn?n3?3(1?3)1?3n，?Sn?(2n?1)34n?1?34．

（18）解：（Ⅰ）由题意知：设基本事件空间为?，记“方程x2?bx?c?0没有实根”为事件A，“方程

2“方程x2?bx?c?0有两个相异实数”为事件C，则x?bx?c?0有且仅有一个实根”为事件B，

2…，6，???(b，c)b，c?1，2，…，6?，A?(b，c)b?4c?0，b，c?1，，2??B?(b，c)b?4c?0，b，c?1，，2…，6，C?(b，c)b?4c?0，b，c?1，，2…，6，

?2??2?基本事件总数为6?6?36，

若使方程有实根，则??b2?4c?0，即b?2c。

当c?1时，b?2,3,4,5,6；当c?2时，b?3,4,5,6；当c?3时，b?4,5,6；当c?4时，b?4,5,6； 当c?5时，b?5,6；当c?6时，b?5,6。目标事件个数为5?4?3?3?2?2?19, 因此方程x2?bx?c?0有实根的概率为

1936.

C中的基本事件总数为17个．又因为B，CB中的基本事件总数为2个，?A中的基本事件总数为17个，

21719??是互斥事件，故所求概率P?P(B)?P(C)?． 363636171171，2，则P???0??（Ⅱ）由题意，?的可能取值为0，，P???1??，P???2??，

361836故?的分布列为：

? P 0 1736?1?118?2?1 2 ?1．

118 1736 所以?的数学期望E??0?17361736（Ⅲ）记“先后两次出现的点数有中5”为事件D，“方程x?bx?c?0有实数”为事件E，由上面分析得

P(D)?11362，P(D?E)?736，?P(ED)?P(D?E)P(D)?711．

（19） 解：: （Ⅰ）连结BE，则四边形DABE为正方形，?BE?AD?A1D1且BE∥AD∥A1D1，

?四边形A1D1EB为平行四边形．?D1E∥A1B．

7

又D1E?平面A1BD，A1B?平面A1BD，?D1E∥平面A1BD．

D1C1A1B1DECAB

(II) 以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设DA?1，?????????则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,2,2),A1(1,0,2).?DA1?(1,0,2),DB?(1,1,0).DC?(0,2,2)。 ????????????设n?(x,y,z)为平面A1BD的一个法向量，由n?DA1,n?DB得

?x?2z?0?x?-2z,即,?n?(?2z,2z,z).令z?1,则n?(?2,2,1)。， ??x?y?0y?-x????????????????设m?(x1,y1,z1)为平面C1BD的一个法向量，由m?DC,m?DB得

?2y?2z?0?y?-z,即,?n?(z,?z,z).令z?1,则n?(1,?1,1)。 ???x?y?0?x?z??????m?n?33cos?m,n????????.由图知该二面角A1?BD?C1为锐角，

39?3mn所以所求二面角A1?BD?C1的余弦值为33.

2060（20）解：如图，连结A1B2，A2B2?102，A1A2??302?102，

?A1A2B2是等边三角形，?B1A1B2?105??60??45?，

北 120 B2 ?在?A1B2B1中，由余弦定理得

B1B2?A1B1?A1B2?2A1B1?A1B2cos45??20?(102)?2?20?102?22222A2

105 ?22，

?200A1

B1 乙 10220?60?302.

甲

B1B2?102.因此乙船的速度的大小为

8

答：乙船每小时航行302海里。

xa22（21）解：(I)由题意设椭圆的标准方程为

?yb222?1(a?b?0)，则

a?c?3,a?c?1，a?2,c?1,b?3， ?2x4?y23?1.

?y?kx?m? (II)设A(x1,y1),B(x2,y2)，由?x2y2得(3?4k2)x2?8mkx?4(m2?3)?0，

??1?3?4??64mk?16(3?4k)(m?3)?0，3?4k?m?0.

222222x1?x2??8mk3?4k2,x1?x2?4(m?3)3?4k222.

y1?y2?(kx1?m)?(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m?23(m?4k)3?4k222.

?以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),kAD?kBD??1， ?y1?y2??1，y1y2?x1x2?2(x1?x2)?4?0，

x1?2x2?2223(m?4k)3?4k2?4(m?3)3?4k22?16mk3?4k2?4?0，7m?16mk?4k?0，

2222解得m1??2k,m2??2k7，且满足3?4k?m?0.

当m??2k时，l:y?k(x?2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当m??2k7时，l:y?k(x?27)，直线过定点(227,0).

综上可知，直线l过定点，定点坐标为(,0).

7（22）解：（Ⅰ）由题意知，f(x)的定义域为(?1，??)，f?(x)?2x?bx?1?2x?2x?bx?12

2设g(x)?2x?2x?b，其图象的对称轴为x??11?1??(?1，??)，?g(x)max?g??????b． 22?2?当b?12时，g(x)max??12?b?0，即g(x)?2x?3x?b?0在(?1，??)上恒成立，

122??)时，f?(x)?0，?当b??当x?(?1，时，函数f(x)在定义域(?1，??)上单调递增．

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（Ⅱ）(1)由（Ⅰ）得，当b?12时，函数f(x)无极值点．

2(2) b?122x?2x?12?2(x?1时，f?(x)?x?12x?1)2?0有两个相同的解x??12，

1??1?????时，f?(x)?0， ?x???1，??时，f?(x)?0，x???，2??2???b?12时，函数f(x)在(?1，??)上无极值点．

12(3)当b?时，f?(x)?0有两个不同解，x1?12?1?1?2b2，x2??1?1?2b2，

显然x1???x2。因为x?(?1，??)，令x1??1?1?2b2=-1解得b=0.

①当b?0时，x1??1?1?2b2??1，x2??1?1?2b2?0，即x1????,?1?，x2???1,???．

?b?0时，f?(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

x f?(x) f(x) ??1,x2? ? x2 0 (x2，??) ? 极小值 ?1?1?2b2 由此表可知：b?0时，f(x)有惟一极小值点x2?12.

②当0?b?时，x1??1?1?2b2??1，?x1，x2?(?1??)，

此时，f?(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

x f?(x) f(x) (?1，x1) x1 0 (x1，x2) ? x1 0 (x1，??) ? ? 极大值 极小值 1?2b2 由此表可知：0?b?12时，f(x)有一个极大值x1??1?和一个极小值点x2??1?1?2b2；

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综上所述：b?0时，f(x)有惟一最小值点x??1?1?2b2；

0?b?12时，f(x)有一个极大值点x??1?1?2b2和一个极小值点x??1?1?2bx；

b≥12时，f(x)无极值点．

（Ⅲ）当b??1时，函数f(x)?x2?ln(x?1)，令函数h(x)?x3?f(x)?x3?x2?ln(x?1)，

1x?13x?(x?1)x?132则h?(x)?3x?2x?2?．

???时，f?(x)?0，所以函数h(x)在?0，???上单调递增，又h(0)?0． ?当x??0，?x?(0，??)时，恒有h(x)?h(0?)2332，0即x?x?ln(x?1)恒成立．故当x?(0，??)时，有

ln(x?1)?x?x．对任意正整数n取x?111?1??(0，??)，则有ln??1??2?3．所以结论成立． nn?n?n

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