有限元上机平面问题分析(8)

??x??bi??1???y???0??2A???xy??ci???0cibibj0cj0cjbjbm0cm?ui????vi?0?????uj?cm?????vj???bm????u?m??v??m? （1-24）

e或简写成 ε?Bδ （1-25）

式中

（1-26）

式（1-25）就是由结点位移求应变的转换式，其转换矩阵B称为几何矩阵。

将（1-25）代入平面问题的物理方程式??D?有

?bi1??0B?2A??ci?0cibibj0cj0cjbjbm0cm0??cm??bm???e?D??DB?e （1-27）

ee??S?或写成 （1-28）

S=DB (1-29)

称为应力矩阵。 二、单元刚度矩阵

在有限单元法中，常利用虚功方程代替平衡方程。图1-3a)所示为三角形单元的实际力系，其结点力为Fe，应力为σ；图1-3b)所示为单元虚位移状态，位移为利用式（1-12）可得

图1-3

??eTFe?????T?tdxdy?e??为单元结点虚位移；?为单元虚应变。式中： ??e由式（1-25）可知 ??B?

（1-30）

?T?eTT因此 ???B

?e?eT??将此公式代入式（1-30），由于中的元素是常量，公式右边的可以提到积分号的前面，

得

?e??eTFe???eT??BT?tdxdy

由于虚位移?是任意的，则

Fe???B?tdxdydxdy?A因为B和σ都是常量矩阵，并且积分??eT，所以F?B?tA （1-31）

eTe利用（1-27），可得 F?BDB?tA （1-32） T令 k?BDBt A （1-33） eee则式（1-32）就变成式（1-15），即 F?k?

单元刚度矩阵?k?为一个6×6矩阵，它时单元结点位移与单元结点力之间的转换矩阵，具有

e以下性质：

（1）?k?示对称矩阵，其元素

eekij?kji；

（2）?k?是奇异矩阵，由它的元素组成的行列式等于零，即它不存在逆矩阵；

（3）?k?具有稀疏性，在刚度矩阵中，零元素很多，阶数越高，非零元素所占比例越小

e

单元网格的划分

划分单元网格时，要综合考虑单元的数目和划分的合理性，注意以下方面： 1．合理安排单元网格的疏密分布

结构的不同部位疏密不同，边界比较曲折的部位，网格可以密一些，比较平滑的部位，可以疏一些，对于应力应变相对小的部位疏一些。在保证计算精度的前提下，减少单元划分数目。 2．对称性的利用

当对称结构上有对称荷载或反对对称荷载作用时，可以利用对称性取半结构或1/4

结构。

3．单元形状的合理性

三角形单元的三个边长较为接近最好，可以避免由于周围应力长分布不均而引起较大的计算误差。

4．不同材料截面处单元划分

当计算对象为不同材料组成时，应以材料性质发生变化的不同材料界面作为单元的边界。