有限元上机平面问题分析(7)

NODAL DISPLACEMENTS

节点横（竖）向坐标

NODE X-COMP 1 -0.0003 2 -0.0003 3 -0.0003 4 -0.0004 5 -0.0004 6 -0.0005 7 -0.0007 57 0.0000 58 0.0000 59 0.0000 60 0.0000 61 0.0000 62 0.0000 63 0.0000

Y-COMP 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0005 -0.0005 -0.0006 -0.0008 -0.0009 -0.0011 -0.0014

x 3.600 5.654 8.120 11.078 14.628 18.888 24.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

y 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 5.200 7.295 9.808 12.825 16.444 20.788 26.000

3)自己分析的内容。

单元分析

图1-2所示为一个三角形单元。三个结点按逆时针顺序编号分别为i、j、m，结点坐标分别为

i(xi,yi)、j(xj,yj)、m(xm,ym)。

图1-2

由于每个结点有两个位移分量，单元共有六个结点位移分量：如图1-2a）所示，因此三角形单元的结点位移分量可表示为

ui、vi、uj、vj、um、vm，

?e??uiviujvjumvm? （1-13）

T与这六个结点位移分量相对应得结点力也有六个分量，如图-21b)所示

Fe?UiViUjVjUmVmFe??k??e （1-15）

e?? （1-14）

T在每个单元上，都可以把结点力用结点位移来表示，即建立如下关系式

式中?k?称为单元刚度矩阵。寻求?k?的过程称为单元分析。单元分析按如下步骤

ee

结点 内部各 应变 结点力 应力 位移 点位移 ?k? 一、位移函数

为了求单元内任一点（x，y）的位移，设该点的位移u、v为其坐标x、y的某种函数，单元有六个结点位移分量，在位移函数中取六个任意参数αi（i=1，2，…，6），并将位移函数取为线性函数，即

eu(x,y)??1??2x??3y??v(x,y)??4??5x??6y? （1-16）

一般情况下，一个弹性变形体在外界作用下，内部点的位移变化比较复杂，不能用简单的线性函数描述。但是，当把弹性体离散为许多微小单元时，在每一个单元内部有限小的局部内，各点位移可以用线性函数描述。式（1-16）可写成矩阵形式

??1?????2????u??1xy000???3?f??????????v????0001xy????4???????5?????6? （1-17）

为了求出内部结点位移f与结点位移δe之间的关系，需求出δe与α间的关系。降格结点坐标和位移代入式（1-16），可得

?ui??1????uj???1?????um????1xixjxmyi???1????yj???2????ym?????3?? （a）

?vi??1xi????vj???1xj?????vm????1xmyi???4????yj???5????ym?????6?? （b）

1A?xiyiyjym11xj21xm三角形单元的面积为 求解方程组(a)得

（1-18）

?ai??1???1??bi??2????2A??ci???3???求解方程组(b)得

ajbjcjam??ui????bm??uj????cm??um?? （c） ??am??vi????bm??vj????cm??vm?? (d) ???ai??4???1??bi??5????2A??ci???6???ajbjcj?、am、bm、cm由下式计算 式中，ai、bi、ci、ai?xjym?xmyj??bi?yj?ym??ci??xj?xm? （i、j、m）

上式中的（i、j、m）表示脚标依次轮换，可写出计算aj、bj、cj以及am、bm、cm的另两组公式。

将式（c）和(d)代入（1-16）并展开，得到以结点位移表示的位移函数

?ui????vj???0Nj(x,y)0Nm(x,y)0??ui??u(x,y)??Ni(x,y)?????????Ni(x,y)0Nj(x,y)0Nm(x,y)???v(x,y)????0??vj??u??i??v??j? （1-20）

式中，

Ni、Nj、Nm反映了单元的位移形态，故称为单元位移的形态函数或形函数。矩阵

N称为形函数矩阵。

选取得位移函数是否合理，要看随着单元网格的逐步细分，有限元解是否逼近于精确解。为了保证收敛型所选择的单元位移函数应满足以下条件： （1） 包含单元的刚体位移； （2） 包含单元的常量应变；

（3） 保证相邻单元在公共边界处位移的连续性。 单元的应变和应力

选择了位移函数并以结点位移表示单元内点的位移后，重新写出平面问题的几何方程

????x???x???????y???0?????xy????????y??0?????u?????y??v??????x?? （f）

由式（1-20）得

u?Niui?Njui?Nmum???v?Nivi?Njvj?Nmvm?? （g） 将式（g）代入式（f），并利用下式

?Nib??i??x2A??Nici????y2A?? （i、j、m） (h)

得单元应变