离散数学课后习题合集(10)

第六章 集 合

6.1 判别下列命题是真还是假的，并简单说明你的答案。

（1）???

解

命题为真，因为空集是任何集合的子集。 （2）??? 解

命题为假，因为空集中没有元素。 （3）??{?}

解

命题为真，因为空集是任何集合的子集。 （4）??{?} 解

命题为真，因为集合{?}中有元素?。 （5）{a,b}?{a,b,c,{a,b,c}} 解

命题为真，因为a和b均是集合{a,b,c,{a,b,c}}中的元素。 （6）{a,b}?{a,b,c,{a,b,c}} 解

命题为假，因为{a,b}为一集合，而集合{a,b,c,{a,b,c}}中无元素{a,b}。 （7）{a,b}?{a,b,c,{{a,b}}} 解

命题为真，因为a和b均是集合{a,b,c,{{a,b}}}中的元素。 （8）{a,b}?{a,b,c,{{a,b}}} 解

命题为假，因为{a,b}为一集合，而集合{a,b,c,{{a,b}}}中无元素{a,b}，注意

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{{a,b}}?{a,b}。

6.2 设A?{a,b,{a,b},?}，求出下列各式。

（1）A?{a,b}?{{a,b},?} （2）A???{a,b,{a,b},?} （3）A?{?}?{a,b,{a,b}} （4）{{a,b}}?A?? （5）??A?? （6）{?}?A??

6.3 举出三个集合A,B和C，使得A?B,B?C且A?C。

解

令A??，B?{?}，C?{{?}}，显然有A?B,B?C且A?C。 6.4 对于任意集合A、B和C，判断下列论断是否正确，并论证你的答案。

（1）A?B，B?C，则A?C。

解

该论断正确，因为B为C的子集且A为B的元素，所以A亦为C的元素。（2）A?B，B?C，则A?C。 解

该论断错误，举反例说明。

令A?{a}，B?{{a},b,c}，C?{{a},b,c,d}。 显然，A?B，B?C，但A?C。 注意应为{{a}}?{{a},b,c,d}。 （3）A?C ，B?C，则A?C。 解

该论断错误，举反例说明。

令A?{a,b}，B?{a,b,c}，C?{{a,b,c},d}。 显然，A?C，B?C，但A?C。 （4）A?B，B?C，则A?C。 解

该论断错误，举反例说明。

令A?{a,b}，B?{a,b,c}，C?{{a,b,c},d}。 显然，A?B，B?C，但A?C。

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6.5 设S表示某林场所有树的集合，M,N,T,P?S，且M是珍贵树的集合，N是果树的集合，T是去年刚栽的树的集合，P是果树园中的树的集合。试写出下列各句子所对应的集合表达式。

（1）所有的珍贵树都是去年栽的。 解：M?T。

（2）所有的去年栽的果树都在果树园中。 解：T?P。

（3）果树园里没有珍贵树。 解：P?M。

（4）没有一棵珍贵树是果树。 解：M?P。

（5）去年仅栽了珍贵树和果树。

解：T?(M?P) 6.6 假设A?C?B?C

A?C?B?C

证明A?B。

方法一：根据集合的定义证明。 证明

对于任意一个x?A，根据元素与集合的关系得x?C或x?C。 （1）当x?C时，由交集的定义知x?A?C，因为A?C?B?C，所以x?B?C，根据交集的定义得x?B。

（2）当x?C时，由补的定义知x?C，由交集的定义知x?A?C，因为

A?C?B?C，所以x?B?C，根据交集的定义得x?B。

综上所述，A?B。 方法二：根据等价变换证明 证明

A?A?(C?C)?(A?C)?(A?C)，

因为A?C?B?C且A?C?B?C 所以A?A?(C?C)?(A?C)?(A?C)

?(B?C)?(B?C) ?B?(C?C)?B?U?B

?B?U?B

故A?B。

6.7 设A、B、C是任意三个集合，证明

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（1）(A?B)?C?A?(B?C) 证明

方法一：根据集合的定义证明。

（1）对于?x?(A?B)?C，根据差集的定义知，x?A?B且x?C，由x?A?B得x?A且x?B，由x?B和x?C得x?B?C，从而有x?A?(B?C)，因此，

(A?B)?C?A?(B?C)。

（2）对于?x?A?(B?C)，根据差集的定义知，x?A且x?B?C，由x?B?C知，x?B且x?C。由x?A和x?B得x?A?B，又由x?A?B和x?C得

x?(A?B)?C，因此A?(B?C)?(A?B)?C。

综上所述，(A?B)?C?A?(B?C)。 方法二：根据等价变换证明。

(A?B)?C?(A?B)?C?A?(B?C)?A?(B?C)?A?(B?C)

（2）(A?B)?C?(A?C)?B 证明

(A?B)?C?(A?B)?C?(A?C)?B)?(A?C)?B?(A?C)?B

（3）(A?B)?C?(A?C)?(B?C) 证明

(A?B)?C?(A?B)?C?(A?C)?(B?C)

?(A?C)?(B?C)

?(A?C)?(B?C)

6.8 完成下列题目

（1）设A?B,C?D，那么一定有(A?C)?(B?D)吗？又是否

(A?C)?(B?D)一定成立？

解

(A?C)?(B?D)一定成立。

对于?x?A?C，由并集的定义知x?A或x?C。

若x?A，因为A?B，所以x?B，从而有x?B?D，因此(A?C)?(B?D)。

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若x?C，因为C?D，所以x?D，从而有x?B?D，因此(A?C)?(B?D)。 综上所述，(A?C)?(B?D)。

(A?C)?(B?D)一定成立。

对于?x?A?C，由交的定义知，x?A且x?C，因为A?B,C?D，所以由子集的定义知，x?B且x?D，因此x?B?D，故(A?C)?(B?D)。

（2）设W?X且Y?Z，那么一定有下面两式吗？ (W?Y)?(X?Z) (W?Y)?(X?Z)

解

(W?Y)?(X?Z)不一定成立，举反例说明。

令全集U?{a,b,c,d,e}，W?{a,b}，X?{a,b,c}，Y?{c,d}，Z?{c,d,e}。从而有，W?Y?{a,b,e}，X?Z?{a,b,c}，显然(W?Y)?(X?Z)。

(W?Y)?(X?Z)不一定成立，举反例说明。

令全集U?{a,b,c,d,e}，W?{a,b}，X?{a,b,c}，Y?{c,d}，Z?{a,c,d,e}。从而有，W?Y?{a,b}，X?Z?{b}，显然(W?Y)?(X?Z)。 6．9 完成下列题目

（1）若A?B?A?C，一定有B?C吗？ 解

不一定，举反例说明。

令A?{a,b,c}，B?{a,b}，C?{c}，显然有A?B?A?C，但B?C。 （2）若A?B?A?C，一定有B?C吗？ 解

不一定，举反例说明。

令A?{a,b,c}，B?{a,d}，C?{a,e}，显然有A?B?A?C，但B?C （3）若A?B?A?C，那么一定有B?C吗？ 解

一定有B?C。

B???B?(A?A)?B?A?(A?B)

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