高铁梅老师的EVIEWS教学课件条件异方差模型

第 7章 条件异方差模型

第七章 条件异方差模型

计量经济学中的大多数统计工具都是用来建立随机变量的条件均值模型。本章讨论的重要工具具有与以往不同的目的——建立变量的条件方差或变量波动性模型。

自回归条件异方差模型（Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model，简称ARCH）最先由恩格尔（Engle, R., 1982） 提出，并由博勒斯莱文（Bollerslev, T. 1986）用于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。

①

②

发展成为GARCH (Generalized ARCH) —— 广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应

7.1 自回归条件异方差模型

通常认为自相关的问题是时间序列数据所特有，而异方差性是横截面数据的特点。但在时间序列数据中，会不会出现异方差呢？会是怎样出现的？恩格尔和克拉格（Kraft, D., 1983） 在分析宏观数据时，发现这样一些现象：时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结论说明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会大量出现，表明存在一种异方差，其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。

从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随时期的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相对地小，而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又是较小的。这种变化很可能由于金融市场的波动性易受谣言、政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而有理由认为误差项的方差不是某个自变量的函数，而是随时间变化并且依赖于过去误差的大小。

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7.1.1 ARCH模型

为了刻画预测误差的方差中可能存在的某种相关性，恩格尔（Engle）提出自回归条件 ① Engle，R.， “Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of U.K. Inflation,” Econometrica, vol. 50, pp. 987-1008, 1982。

② Bollerslev, T., “Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity”. Journal of Econometrics, 31, 1986, pp, 5-59.

③ Engle, R., and D. Kraft, “Multiperiod Forecast Error Variances of Inflation Estimated form ARCH Models.” In A. Zellner,ed., Applied Time Series Analysis OF economic Data. Washington D.C., Bureau of the Census, 1983.

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第三部分 扩展的单方程分析

异方差。ARCH的主要思想是条件标准差依赖于ut的前期值。ARCH（1）就是时刻t的ut的方差（=

?t2）依赖于时刻（t ─ 1）的平方误差的大小，即依赖于ut2?1。

yt??0??1x1t?????kxkt?ut （7.1.1）

为了说得更具体，考虑k - 变量回归模型：

并假设在时刻（t ─ 1）所有信息的条件下，干扰项的平方服从AR(1)过程：

ut2??0??1ut2?1??t （7.1.2）

其中，?t是白噪声过程，满足：

E(?t)?0

??2E(?t??)???0这样，扰动项ut的分布是：

t?? t??ut~N0,(?0??1ut2?1) （7.1.3）

也就是，ut服从以0为均值，(?0??1ut2?1)为方差的正态分布。

方差方程（7.1.2）表示ut的方差?t2由两部分组成：一个常数项和前一时刻关于变化量的信息，用前一时刻的残差平方表示（ARCH项）。

由于（7.1.2）中的ut的方差只依赖于前一期的平方干扰，我们称它为ARCH (1) 过程。通常用极大似然估计得到参数?0,?1,?2,?,?k,?0,?1的有效估计。

一个自然的延伸是ARCH (p)过程，可以写为：

??var(ut)??t2??0??1ut2?1??2ut2?2?????put2?p （7.1.4）

这时方差方程中的(p?1)个参数?0,?1,?2,??p也要和回归模型中的参数

?0,?1,?2??k一样，用极大似然估计法进行估计。

在ARCH（p）中，由于ut是随机的，并且ut2不可能为负，所以对于{ut}的所有实现值，只有var(ut)??t??0??1ut?1??2ut?2?????put?p是正的，才是合理的。为使

2222ut2协方差平稳，我们进一步要求方程

1??1z??2z2????pzp?0 （7.1.5）

的根位于单位圆外。如果?j都非负，这等价于要求?1??2????p?1。

如果误差方差中没有自相关，就有：?1??2????p?0。这时

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第 7章 条件异方差模型

var(ut)??2??0

从而得到误差方差的同方差性情形。

7.1.2 GARCH模型

我们常常有理由认为ut的方差依赖于很多时刻之前的变化量（特别是在金融领域，采用日数据或周数据的应用更是如此）。这里的问题在于，我们必须估计很多参数，而这一点很难精确的做到。ARCH模型的一个实践难点就是：对于大多数的p，无限制的估计常常会违背?i都非负的限定条件，我们恰恰需要这个限定以保证条件方差?t2永远是正数。因此在这个模型的许多早期应用中，研究者会对?i强加一个相当任意的递减时滞结构，以保证模型满足这些限定条件。但是如果我们能够意识到方程（7.1.4）不过是?t2的分布滞后模型，就能够用一个或两个?t2的滞后值代替许多ut2的滞后值，这就是广义自回归条件异方差模型（generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model，简记为GARCH模型）。 在GARCH模型中，要考虑两个不同的设定：一个是条件均值，另一个是条件方差。

在标准化的GARCH (1,1) 模型中：

①

yt?xt???ut （7.1.6）

?t2????ut2?1???t2?1 （7.1.7）

（7.1.6）式给出的均值方程是一个带有误差项的外生变量的函数。由于?t2是以前面信息为基础的一期向前预测方差，所以它被叫做条件方差。

（7.1.7）中给出的条件方差方程由三个组成部分： ① 一个常数项：?；

② 用均值方程的残差平方的滞后来度量从前期得到的波动性的信息：； ut2?（1ARCH项）③ 上一期的预测方差：?t2?1（GARCH项）。

GARCH (1, 1) 中的（1, 1）是指阶数为1的GARCH项（括号中的第一项）和阶数为1的ARCH项（括号中的第二项）。一个普通的ARCH模型是GARCH模型的一个特例，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差的说明，GARCH(0,1)。GARCH (1, 1)模型是在误差是条件正态分布的假定下，通过极大似然函数方法估计的，t时刻的似然函数为：

111lt??log(2?)?log?t2?(yt?xt??)2/?t2 （7.1.8）

222其中：

?t2????(yt?1?xt??1?)2???t2?1 （7.1.9）

① GARCH模型的引入归功于Tim Bollerslev。参见Tim Bollerslev, “Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity。” Journal of Econometics, vol. 31, pp. 307-327, 1986。

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第三部分 扩展的单方程分析

这个设定通常可以在金融领域得到解释，因为代理商或贸易商可以通过建立长期均值的加权平均（常数），上期的预期方差（GARCH项）和在以前各期中观测到的关于变动性的信息（ARCH项）来预测本期的方差。如果上升或下降的资产收益出乎意料地大，那么贸易商将会增加对下期方差的 …… 此处隐藏：3662字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……