第34届全国中学生物理竞赛预赛试卷解析（解析版）(3)

E20=

111

E1f = E1f =(E0－μmgL) ⑦ 1+122

在第1、2、3个滑扣共同滑动距离L、第3与第4个滑扣之间的细绳刚拉紧前的瞬间，系统剩余动能为 E3f=E302112211222

－3μmgL=[E0－(1+2)μmgL]－3μmgL = E0－(1+2+3)μmgL ⑩

32233……

依次类推，在第k个与第k+1个滑扣之间的细绳刚拉紧前的瞬间，系统剩余动能为 1111k(k+1)(2k+1)

Ekf= E0－(12+22+32+……+k2)μmgL = E0－ μmgL

kkkk61(k+1)(2k+1)=E0－ μmgL， 1≤k≤n－2 k6

于是，在第(n－2)个与第(n－1)个滑扣之间的细绳刚拉紧前的瞬间，系统剩余动能为

E(n－2)f = E0－

n－2

1

(n－1)(2n－3)

μmgL ⑾

6

在第(n－2)个与第(n－1)个滑扣之间的细绳刚拉紧后的瞬间，系统剩余动能为

n－21(n－2)(2n－3)

E(n－1)0= E(n－2)f = E0－ μmgL ⑿ [可类比⑦、⑨，并代入⑾得到]

n－1n－16

[由⑾知，E(n－2)f >0，

1(n－1)(2n－3)

E0－ μmgL>0； n－26

E(n－1)f <0，E0－

n－2

得

1

(n－1)(2n－3)

μmgL<0，

6

(n－1)(n－2)(2n－3)n(n－1)(2n－1)

μmgL

66

定义域]

则从第1个滑扣开始的(n－1)个滑扣都依次拉紧，且可继续滑行距离l(0

E(n－1)0=

1(n－2)(2n－3)E0－ μmgL=(n－1) μmgl (因为要继续滑行距离l) ⒀ n－16

[

(n－2)(2n－3)

L+2(n－1)l](n－1) μg

3

由⑤⒀ 得：v10=

(2)整个过程中克服摩擦力所做的功为

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W=μmgL+μ(2m)gL+μ(3m)gL+……+μ[(n－2)m]gL+μ[(n－1)m]gl=[

(3)在整个过程中仅仅由于细线拉紧引起的总能量损失为

(n－2)

L+l](n－1) μmg 2

121(n－2)(2n－3)(n－2)ΔE=mv －W =[L+2(n－1)l](n－1) μmg －[L+l](n－1) μmg

210232(n－2)(n－3) =[L+(n－2)l](n－1) μmg 学&科网

3

16．(20分)如图，两劲度系数均为k的同样的轻弹性绳的上端固定在一水平面上，下端悬挂一质量为m的小物块。平衡时，轻弹性绳与水平面的夹角为α0，弹性绳长度为l0．现将小物块向下拉一段微小的距离后从静止释放。

(1)证明小物块做简谐振动；

(2)若k=0.50N/m、m=50g、α0=30°、l0=2.0m，重力加速度g=9.8 m/s。，求小物块做简谐振动的周期T； (3)当小物块下拉的距离为0.010m时，写出此后该小物块相对于平衡位置的偏离随时间变化的方程。已知：11

当x<<1时， ≈1－x ，1+x ≈1+x ．

1+x2【名师解析】

④代入② 展开，化简得：l=

2

lcos2α0+lsin2α0+y2+2l0ysinα0

l+2l0ysinα0 =l0

2

0

1+2y2020

由于y是小量，y是二阶无穷小量，可略去。得 l=

l0

sinα0

1y由小量展开式：当x<<1时， 1+x ≈1+x ，知l=l0[1+ sinα0]=l0+ysinα0 ⑤

2l0

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将⑤代入③，得 sinα=

l0sinα0+y1

，由 当x<<1时， ≈1－x ，知

l0+ysinα01+xl0

1y22

sinα=(l0sinα0+y)[(1－sinα0)]? l0sinα= l0sinα0+y－y sinα0－(y/l0)sinα0

l0

且 忽略y项，? l0sinα= l0sinα0+ycosα即 sinα= sinα0+(y/l0)cosα

2

0

22

0

⑥

当小物块处在平衡位置时有 mg=2k(l0－L)sinα0 即 L =l0－

mg2ksinα

⑦

0

[来源:学&科&网]

2

⑤⑥⑦(代去l，L，sinα)代入① 得：ma=mg－2k[l0+ysinα0－l0+ ][ sinα0+(y/l0)cosα0 ]

2ksinα0

mgmgy2mgycos2α022

ma=mg－2k[ysinα0+ + sinα0cosα0 + ] 略去y项

2kl02kl0sinα0

2

mgcos2α0

ma=－(2ksinα0+ )y 由简谐运动的特征方程知：F回=－Ky

l0sinα0

2

mgcos2α0

所以 K=(2ksinα0+ )

l0sinα0

2

由此，物体的运动满足简谐运动的特征方程。因此，当y很小时，小物块做简谐运动。 (2)小物块做简谐运动的周期为

T=2π

m = K 2π

2k2gcosαsinα0+ ml0sinα

2

0

⑧

0

将题给数据代入 ⑧ 得 T=1.8s

(3)因将小物块拉开距离y0=0.010m 时从静止松手，故小物块做简谐振动的振幅为 A=0.010m 初始时，小物块速度为零，小物块位于最大振幅处，其初相位为 φ0=0 ⑨ 2π

圆频率为 ω0==3.5rad/s

T故在国际单位制中，小物块做简谐振动的方程为

y=0.010×cos(3.5×t)。

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