中南大学最全高等工程数学试题集免费下载（部分含答案）(2)

Lxx??xi?nx2?2574?10?29.32?992.1

LYY??yi?ny2?701?10?8.12?44.9 4分

22??Lxy?200.7?0.2023?0.20 a??y??bxb8?.1?0.20?23Lxx992.1?(x)回归函数为 ??2? 9.32.17 . 2 0 4分 2.?17x 0?2?（２）?1?)?1(44.9?0.2023?200.7)?0.54 (LYY?bLxYn?28?2Lb0.20232?200.7xY F???15.21，或T?F?3.9 2分 2??0.54 F?F0.05(1,8)或T?t0.05(8)

五、（本题10分）利用单纯形方法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：

F?F0.01(1,8) 故在显著水平为0.05，0.01下线性回归是显著的 T?t0.01(8) 故在显著水平为0.05，0.01下线性回归是显著的。12分

maxs..tZ?300x1?400x22x1?x2?40x1?1.5x2?30x1?0,x2?0

解：

第一步： 化为标准型，……………… ……………………..(2分) 第二步： 列出是单纯形表，…………………………… …..(2分) 第三步： 第一次单纯形迭代计算，…………………………..(3分) 第四步： 列出是单纯形表，…………………………… ……..(3分)

第五步： 正确写出结果，最优解x?(15,10),f?8500…(2分)

六、（本题10分）试确定求积公式? hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)中的待定系数，使其代数精

?h度尽量高。 解：

*T*1?A????13h?A?1?A0?A1?2h??4?f(x)?1,x,x2,???h(A?1?A1)?0??A0?h3??21?h2(A?1?A1)?h3?A?3??13h?hhhhhh??x3dx?(?h)3?(h)3?x4dx?(?h)4?(h)4?h?h3333hh4hh??f(x)dx?f(?h)?f(0)?f(h)具有三次代数精度.?h333

算出系数6分，验证3次2分，给出结论2分

七、（本题12分）设有4种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗效。假定将24个病人分成4组，每组6人，令同组病人使用一种药，并记录病人从使用药物开始到痊愈所需时间，得到下面的记录：

药物 1 2 3 4 治愈所需天数 5，7，7，7，12，8 4，6，6，13，4，6 6，4，8，5，3，9 7，4，6，6，3，15 试检验不同药物对病人的痊愈时间有无差别？（??0.05，F0.05(3,20)?3.10） 解：

1612SST???xij2?nx2?1291?24?()?211

24SSE???xij2?6x12?6x22?6x32?6x42?1291?1090.5?200.5

SSA?AAT?SSE?10.5

方差来源 组间（因子） 组内（误差） 总和 平方和 10.5 200.5 211 自由度 3 20 23 样本方差 3.5 10.02 F值 0.35 由于F?F0.05(3,20)?3.10，故接受假设，即不同药物对病人的痊愈时间无显著差别 （正确算出F值给10分，结论正确给2分）

八、（本题16分）设方程组为

??x1?8x2?7 ???x1?9x3?8

?9x?x?x?73?12（1）对方程组进行适当调整，使得用高斯—塞德尔迭代法求解时收敛；

（2）写出对应的高斯－塞德尔迭代格式； （3）取初始向量x 解：

(0)?(0,0,0)T，用该方法求近似解x(k?1)，使x(k?1)?x(k)??10?3。

?9x1?x2?x3?7??x1?8x2?7，此方程组系数矩阵按行严格对角占优，故用高斯—塞

（1）将原方程组调整为???x?9x?813?德尔迭代法求解时收敛。 5分 （2）高斯－塞德尔迭代格式为

?(k?1)1(k)1k7?x2?x3??x1999??(k?1)1(k?1)7?x1??x298??x(k?1)?1x(k?1)?83?919? 5分

（2）取x(0)?(0,0,0)T，用上述迭代格式计算得

(k)(k)(k)k x1 x2 x3

1 0.7777778 0.9722222 0.9753086 2 0.9941701 0.9992713 0.9993522 3 0.9998471 0.9999809 0.9999830 4 0.9999960 0.9999995 0.9999996

因

x(4)?x(3)*??0.0001489?10?3，

故取近似解x?x(4)?(0.9999960,0.9999995,0.9999996)T。 6分

x*?x(4)?(0.9999960,0.9999995,0.9999996)T。 6分

中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）

考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟

注：解答全部写在答题纸上

一、填空题(本题24分，每小题3分)

1. 若函数?(x)?C1[a,b],且?x?[a,b]有?(x)?[a,b]和 , 则方程x上的解存在唯一，对 为初值由迭代公式xn?1程x??(x)在[a,b]上的解x，且有误差估计式x*?x*??(x)在[a,b]??(xn)产生的序列?xn?一定收敛于方

k? ；

2. 建立最优化问题数学模型的三要素是： 、 、 ； 3．求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象”，其原因是：

； 4．已知函数y?f(x)过点(xi,yi),i?0,1,2,?,n，xi?[a,b]，设函数S(x)是f(x)的三次样条插值函数，则S(x)满足的三个条件是 ； 5．随机变量X~N(3,4),(X1,X2,?,X10)为样本，X是样本均值，则X~ ； 6．正交表LN(np?mq)中各字母代表的含义为 ； 7．线性方程组Ax?b其系数矩阵满足 时，可对A进行LU解，选主元素的Gauss消元法是为了避免 导致误差传播大，按列选取主元素时第k步消元的主元akk为 ；

?y'?3x?y8．取步长h?0.01，用Euler法解? ,x?[0,1]的公式为 。

?y(0)?1二、（本题6分）某汽车厂三种汽车：微型轿车、中级轿车和高级轿车。每种轿车需要的资源和销售的利润如下表。为达到经济规模，每种汽车的月产量必须达到一定数量时才可进行生产。工厂规定的经济规模为微型车1500辆，中级车1200辆，高级车1000辆，请建立使该厂的利润最大的生产计划数学模型。

钢材（吨） 人工（小时） 利润 微型车 1.5 30 2 中级车 2 40 3 高级车 2.5 50 4 资源可用量 6000（吨） 55000（小时） 三、（本题10分）已知f(x)的数据如表：

x f(x) 0 1 2 5 -5 3 0 6 用Newton插值法求f(x)的三次插值多项式N3(x)，计算f(6)的近似值，给出误差估计式。 四、（本题12分）为了研究小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有没有差异，现试验了在接种三种不同菌型伤寒杆菌（记为A1,A2,A3并假设Ai~N(?i,?)，i?1,2,3，）后的存活日数，得到的数据已汇总成方差分析表如下： 方差来源 平方和 组间SSA 组内SSE 总和SST 129 66 自由度 12 14 样本方差 F值 2 (1) 试把上述方差分析表补充完整（请在答卷上画表填上你的答案）

(2) 小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有无显著差异？（取??0.05，F0.05(2,12)?3.89）

五、（本题12分）用表格形式单纯形法求解

maxZ?20x1?8x2?6x3?8x1?3x2?2x3?250? ??2x1?x2?50s.t.??4x1?3x …… 此处隐藏：1923字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……