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中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷

考试日期：2011年 月 日 时间110分钟

注：解答全部写在答题纸上

一、填空题(本题24分，每小题3分)

f(x)?x3?2x2?x，写出其Newton迭代公式 【注意重根】 ，使

*得由迭代公式产生的序列?xn?可以2阶收敛于方程的唯一正根x；

（1） 对方程（2）在[a,b]上，设

则当?(x)满足 ， 和 f(x)?0与x??(x)等价，

时，由xk?1??(xk)（k?0,1,2,L）产生的序列?xk?收敛于方程x??(x)的根；

?211??x1??4???????（3）用Doolittle分解法求方程：132x2?6 ????????122????x3????5??则：L= ，U= ，解x= ；

?211??4?????（4）已知 A?1?32,x??6， ???????122???5??则：A?? ；A1? ；x1? 。

（5）已知y?f(x)在区间[a,b]上通过点(xi,yi),i?0,1,2,?,n，则其三次样条插值函数S(x)是满足 ， ， ；

?y1??1??1?（6）设有线性回归模型?y2?2?1??2??2，其中?i~N(0,?2)(i?1,2,3) 且相互独立，写出参数

?y???2???123?3?1,?2的最小二乘估计 。

（7）在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。写出三种常用的自变量的选取方法 。

（8）影响数学模型数值求解结果的误差有： ， ， 。 二、（本题8分）已知f(x)的数据如表：

x -2 0 2 6 f(x) 0 4 -2 10 试求三次Newton插值多项式N3(x)，求f(5)的近似值，并给出相应的误差估计式。 三、（本题10分）引入人工变量利用大M法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：

maxs..tZ?3x1?4x22x1?x2?4x1?0.5x2?1x1?0,x2?0

四、（本题8分）某厂生产甲、乙、丙三种产品，都分别经A,B两道工序加工，A工序在设备A1或A2上完成，B工序在B1，B2，B3三种设备上完成。已知产品甲可在A，B任何一种设备上加工；产品乙可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品丙只能在A2与B2设备上加工。加工单位产品所需要工序时间及其他数据见下表。

设备 甲 5 7 6 4 7 0.25 1.25 产品 乙 10 9 8 0.35 2.00 丙 12 11 0.50 2.80 设备有效台时 6000 10000 4000 7000 4000 设备加工费（元/小时） 0.05 0.03 0.06 0.11 0.05 A1 A2 B1 B2 B3 原料费（元/件） 售价（元/件） （1）建立线性优化模型，安排使该厂获利最大的最优生产计划（不要求计算出结果）； （2）写出所建立的模型的对偶形式。

五、（本题12分）一种生产降血压药品的生产厂家声称，他们生产的一种降压药服用一周后能使血压明显降低的效率可以达到80%，今在高血压的人群中随机抽取了200人服用此药品，一周后有148人血压有明显降低，试问生产厂家的说法是否真实(??0.01)？ 六、（本题10分）设有数值求积公式

? 3 ?3f(x)dx?A0f(?2)?A1f(0)?A2f(2)，试确定A0,A1,A2，使

该数值积分公式有尽量高的代数精度，并确定其代数精度为多少。

七、（本题12分）影响水稻产量的因素有秧龄、每亩基本苗数和氮肥，其水平如下表

因素 1水平 2水平 秧龄 苗数 氮肥 小苗 15万株/亩 8斤/亩 大亩 25万株/亩 12斤/亩 若考虑之间的交互作用，采用L8(27)安排试验，并按秧龄、每亩基本苗数、氮肥分别放在表的第一、二、四列，解答下列问题：

（1）它们的交互作用分别位于哪一列？（2）若按这种表头作试验并测得产量为83.4, 84.0, 87.3, 84.8, 87.3, 88.0, 92.3, 90.4，试寻找较好的生产条件。 八、（本题16分）设方程组为

?291??x1??12??????? 125x2?8 ????????832????x3????13??（1）对方程组进行适当调整，使得用雅可比迭代方法和高斯—塞德尔迭代法求解时都收敛；

（2）写出对应的高斯－塞德尔迭代格式的分量形式； （3）取初始向量

x(0)?(0,0,0)T，用雅可比迭代方法求准确解x* 的近似解

x(k?1)，使

x(k?1)?x*

??10?3 至少需要迭代多少次？

中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷

考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟

注：解答全部写在答题纸上

一、填空题(本题24分，每小题3分) 1. 若方程f(x)?0可表成x??(x)，且在[a,b]内有唯一根x*，那么?(x)满足 ，则由迭代公式xn?1??(xn)产生的序列?xn?一定收敛于x*。

（?(x)满足：?(x)?C1[a,b],且?x?[a,b]有?(x)?[a,b], ?'(x)?L?1；）

222. 已知二元非线性函数f(x)?x1?x1x2?x2?2x1?4x2,X0?(2,2)T，该函数从X0 出发的最速下降方

向为 （最速下降方向为：p???4,2?）；

T223．已知二元非线性函数f(x)?x1?x1x2?x2?2x1?4x2,X0?(2,2)T，该函数从X0 出发的Newton方

向为 （Newton方向为： p???2,0?）；

T4．已知y?f(x)在区间[a,b]上通过点(xi,yi),i?0,1,2,?,n，则其三次样条插值函数S(x)是满足 （（1）在每个小区间是次数不超过3次的多项式，（2）在区间[a,b]上二阶导数连续，（3）满足插值条件S(xi)?yi,i?0,1,2,?,n ）；

5．设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成立时，样本值(X1,X2,?,Xn)落入W的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为________（0.15） ；

6．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 大 愈好，而置信区间的长度愈 短 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 变长 ； 7

．

取

步

长

h?0.2，解

?y'?x?2y,x?[0,1]??y(0)?1的Euler法公式为：

（yn?1?yn?h(xn?2yn)?0.6yn?0.2xn,n?0,1,2,?,5 ）；

8．对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有： （模型误差，观测误差，方法误差，舍入误差。） 。

二、（本题8分）某钢铁公司生产一种合金，要求的成分是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍介于35%到55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如下表。矿石杂质在冶炼中废弃，并假设矿石在冶炼过程中金属含量没有发生变化。

合金 矿石 1 2 3 4 5 锡（%） 锌（%） 25 40 0 20 8 10 0 15 20 5 铅（%） 10 0 5 0 15 镍（%） 杂质（%） 25 30 20 40 17 30 30 60 20 15 费用（元/吨） 340 260 180 230 190 （1）建立线性优化模型，安排最优矿物冶炼方案，使每吨合金产品成本最低。（不要求计算出结果）； （2）写出所建立的模型的对偶形式。

（1）设 xj（,j?1,2,?5) 是第j 种矿石的数量，目标是使成本最低，得线性规划模型如下：

mins..tZ?340x1?260x2?180x3?230x4?190x50.25x1?0.4x2?0.2x4?0.08x5?0.280.1x1?0.15x2?0.2x4?0.05x5?0.150.1x1?0.05x3?0.15x5?0.10.25x1?0.3x2?0.2x3?0.4x4?0.17x5?0 …… 此处隐藏：2870字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……