华南理工大学 线性代数与解析几何 习题(40)(2)

的相应运算（建议初学者计算时使用这些记号，便于检查）。

1234234134124123例3：计算 。

解：

12?1?2?73?2?8?104?7?10?1312003?444?7436r4?r31?002003?404440?160。

原式

r2?2r1?r?3r00031r4?4r1?r?7r4r3?2r22000?1?20?1?2?7abbabbbabbabbabbba?b0?0bbab????????bbbbb 。 a例4：计算n阶行列式 bba?(n?1)bc1?1?c2c1?1?c3 ?c1?1?cn?????a?(n?1)b?a?(n?1)b11解：原式

?a?(n?1)bbb b（即：其余各列都加到第一列上）

abbb a???b00 ?????b?b?a?b?b0?0 ?[a?(n?1)b]111r2?r1r3?r1?????0?0

?rn?r1?[a?(n?1)b]0a?b??a?b?1b]a(?nb) ?[a?(n?1)。

例5：当n为奇数时，证明：

0D??a12??a1n

a120??a1n?a2n??0?0 。

?a2n?6

0证明：D?(?1)n?a12??a1n0?a2n??a2n???0??D

a12?a1n? D?0。

这个结果也常说成：奇数阶反对称行列式等于零。

§3 按行（列）展开定理

先介绍余子式和代数余子式的概念。

定义5：划去行列式中元素aij所在行和列，剩下的(n?1)2个元素按原来的排列构成的n?1级行列式，称为元素aij的余子式，记为Mij。称Aij?(?1)i?jMij为aij的代数余子式。

123例如行列式 201，M23?，A31?(?1)52512123?1?2301＝2。

a11定理2（按行列展开定理）：设D?a12?a1n，则有

a21?an1a22?a2n???an2?ann?D i?j (i,j?1,2,?,n) 1）ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn???0 i?j?D i?j (i,j?1,2,?,n) 2）a1iA1j?a2iA2j???aniAnj??0 i?j?证明：仅证1），由性质1，2）式亦得证。 先看i?j的情形，不妨设i?j?1。

a11由性质4可得D?0?0?0a21?a12?0???0a21?0?a1n

a21?an1a22?a2n???an2?anna22?a2n???a22?a2n???an1an2?annan1an2?ann??a ?a11A11?a1An。1 212?n1A再看i?j的情形，考察行列式

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?ai1D1??aj1????ai2?ain????ai1ai1ai2?ainai2?ain??? 与 D2??????0 。 aj2?ajn???????D2是将D1的第j行元素换成第i行的元素，其他行的元素不变，这样D1与D2的

第j行的代数余子式完全相同，D2按第j行展开有：

D2?ai1Aj1???ainAjn?0 。

该定理理论上有重要的价值，后面有些地方会用到。另外，它也可以结合前面的性质简化行列式的计算。

5372?1023520010例6：计算

0?2

?23??160（按第4列展开） 解：原式=(?1)2?40?23?10250255?310000?000?0??0200030020001000例7：计算行列式 ?0n00??? ???n?1?解：原式=(?1)1?n?0n(n?4)(n?1)2??????(?1)1?n?(?1)1?(n?1)?(?1)1?2n! ?n?1?=(?1)n!

事实上，此题还可以利用定义及性质2来求解，读者自行练习。

124058323023 例8：设D??1674

求：1）A13?2A23?A33?3A43；

8

2）3A13?7A23?5A33?5A43。

解：1）代数余子式是第3列的，它们的系数是第1列的，从而，

A13?2A23?A33?3A43?0

2）因为 3A13?7A23?5A33?5A43

＝(1?2)A13?(2?5)A23?(?1?6)A33?(3?2)A43 =(1A13?2A23?1A33?3A43)?(2A13?5A23?6A33?2A43) =0+0=0

22?31?10253??10?3?(?1)??120 ? 3A13?7A23?5A33?5A43??10A33＝

323201201例9：计算x1x121解：原式?x1c3?c1x12c2?c11x22x21x3 2x30x2?x12x2?x12011x3?x1?(x2?x1)(x3?x1)

x2?x1x?x12x3?x12 ＝(x2?x1)(x3?x1)(x3?x2)。 利用递推或数学归纳法可以得到：

11x1x2??n?1x1n?1x2?1?xn??(xj?xi) 。

??1?i?j?nn?1?xn上述行列式称为范德蒙（Vandermonde，735-1796，法）行列式，这个结果以后可以直接利用。

有了按行（列）展开定理，下面介绍介绍n元一次方程组（3）解的结论。 定理3：（克莱姆(Cramer，1704－1752，瑞士)法则）方程组（3）的系数行

a11列式D?a12?a1n?0，则（3）有唯一解xj?Dj/D j?1,2,?,n，其中

a21?an1a22?a2n???an2?annDj是将D中第j列换成常数列后得到的行列式。

证明：将方程组（3）中的n个方程依次两边乘以A11,A21,?,An1，再把它们

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相加可得：

(a11A11?a21A21???an1An1)x1?(a12A11?a22A22???an2An1)x2???(a1nA11?a2nA21???annAn1)xn?b1A11?b2A21???bnAn1

由定理2，即有Dx1?D1 从而 x1?D1/D。

同理以A1j,A2j,?,Anj依次乘方程组（3）的n个方程两边并相加起来，再应用定

理2，可得 xj?Dj/D (j?2,?,n)。

易验证 xj?Dj/D (j?1,2,?,n)是（3）的解。

关于解的唯一性在第三章再给予说明。事实上用克莱姆法则求解方程组比较麻烦，也不具有一般性，第三章再作进一步讨论。

习题一

1.计算下列排列的逆序数 1）9级排列 134782695； 2）n级排列 n(n?1)?2。1 2.选择i和k，使得：

1）1274i56k9成奇排列； 2）1i25k4897为偶排列。 3.由定义计算行列式

a11aa21a a31a1222324252000aa4353000aa4454000 。 a4555a41aa51aa4.计算行列式：

420?21； 2）2?4?11111?11111?11111?1； 3）

410124202117；

1）?1310520 10