华南理工大学 线性代数与解析几何 习题(40)

第一章 行列式

行列式是线性代数的基础知识，它在数学的其他分支中有很重要的应用。

§1 行列式的定义

一、引言

我们先看二元一次方程组

?a11x1?a12x2?b1 ?ax?ax?b?2112222当a11a22?a12a21?0时的解。由消元法易得

b1a22?b2a12?x??1aa?aa?11221221 ??(1) ??x?b2a11?b1a212?a11a22?a12a21?在中学数学中，定义二阶行列式(1)可写为：

b1x1?a12a11a11a21a12a22?a11a22?a12a21，则上述方程组的解

b1b2a22a21b2，x2?。 ??(2)

a11a12a11a12a21a22a21a22可以发现解(2)的形式比解(1)的形式更于记忆。对于三元一次方程组也有类

似的结论。更一般的，可以推广到n元一次方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 ??(3) ???????????????an1x1?an2x2???annxn?bn的情形，为此我们先做一些准备。

二、排列

定义1：由1,2,?,n组成的一个有序数组称为一个n级排列。

n级排列通常记为j1j2?jn，易知n级所有不同排列的个数为n!。例如：

45321是一个5级排列，5级排列的总数为5!=120。

定义2：一个排列中，某两个位置上的数前大后小，称这两个数构成一个逆

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序。一个排列中逆序的总数称为该排列的逆序数。

排列j1j2?jn的逆序数通常记为?(j1j2?jn)。记?k表示排列j1j2?jn中数字k前面比k大的数的个数，则有?(j1j2?jn)??1??2????n，其中?n?0。例如 ?(45321)?4?3?2?9，?(12?n)?0。

定义3：逆序数为奇（偶）数的排列，称为奇（偶）排列。 例：?(45321)= 4+3+2=9，该排列为奇排列；?(12?n)=0，该排列为偶排列。 把排列中某两个位置上的数进行交换得到另一排列，这样一个变换称为对换。对于对换，有下面主要定理：

定理1：对换改变排列的奇偶性。 证明：分两种情形来讨论。

1）对换的两个数相邻，设排列为?jk?。当j?k时，记

?(?jk?)????j????k????，则

?(?kj?)???(?j?1)????k?????1；

当j?k时，同理可得 ?(?kj?)??(?jk?)?1。从而定理成立。

2）对换为一般情形，设排列为：?ji1i2?isk?。

先将j依次与i1,i2,?,is对换变为?i1i2?isjk?，经过s次对换，再将k依次与

j,i1,i2,?,is对换变为?ki1i2?isj?，经过了s?1次对换。故排列的对换共经过了

s?(s?1)?2s?1次的相邻对换，从而定理成立。

三、行列式定义

定义4：设aij(i,j?1,2,?,n)是n2个数（也称为元素），定义n阶行列式

a11a21?an1其中

j1j2?jna12?a1n?(?1)?(j?j)aja2j?aj?jj?j1na22?a2n???an2?ann112nn。

12n?表示对所有的n级排列求和。

说明：1. n阶行列式是一个数，由n!项的代数和所构成。

2. 除符号外，每项为n个数的乘积，这n个数取自于不同的行和列。 3. 乘积a1j1a2j2?anjn的n个数（元素）（从左到右）行数按自然顺序由小到

2

大排列，元素的列数构成的排列为j1j2?jn，排列逆序数?(j1j2?jn)的奇偶性决定这一项的符号。 例1：按定义计算

a11a21a12a22。

解：

a11a21a12a22??(?1)?(j1j2)a1j1a2j2

j1j2?(?1)?(12)a11a22?(?1)?(21)a12a21?a11a22?a12a21。

结果与中学里的直接定义结果一致。三阶行列式亦是如此。

a11a12a220a13a23?a33(1j2j3)j1j2j3a13a23 。

a33例2：计算00a11a12a2201j2j3解：00?(?1)?(j1j2j3)a1j1a2j2a3j3

??(?1)?a11a2j2a3j3?a11a22a33。

类似地，可求得

a11a12?a1n?a11a22?ann。该行列式称为上三角行列式。

0?0同理

a22?a2n???00?ann?00a11a21?an1

a22????an2?ann0?00?a11a22?ann。该行列式称为下三角行列式。

a110?0a22?0????ann?a11a22?ann 。该行列式称为对角线行列式。

行列式中从左上角到右下角这条对角线称为行列式的主对角线。 从定义可知一个n阶行列式共有n!项，计算量很大，但从例2来看，上（下）三角行列式计算比较简单。下面就介绍行列式的一些性质，以便利用这些性质化一般行列式为三角行列式，从而简化行列式的计算。

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§2 行列式的性质

性质1：行列互换，行列式不变，即

a11a21?an1a12?a1n?a11a12?a1na21?an1a22?an2???a2n?ann。

a22?a2n???an2?ann注：左边行列式称为右边行列式的转置行列式。

证明从略。

性质1表明行列式中行与列的地位是对称的，因此后面有关行的性质，对列也能成立。

性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。即

????????as1as2?asn?at1?at2?atn???at1as1?at2?atn??? as1?as1?????????证明：记右边行列式i行j列的元素为bij，则

左边?j1j2?jn?(?1)?(j1j2?jn)?asjs?atjt。

(?1)?(?js?jt?)?bsjs?btjt?

右边?? ??j1j2?jn?j1j2?jn?(?1)?(?js?jt?)?atjs?asjt?

?j1j2?jn?(?1)?(?jt?js?)?asjt?atjs?＝左边。

推论1：两行（列）元素相同，行列式等于0。 ????as1as2?asn???，交换元素相同的两行，行列式不变；另由at2?atn???证明：记D??at1?性质2行列式变号，从而D??D，即D?0。

性质3：某行（列）的各元素如有公因数k，则可把k提出行列式符号外，即

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?kai1?证明：左边?????12n??1j1????kai2?kain?kai1ai2?ain。 ????(?1)?(jj?j)a?jj?j12n?(kaiji)?anjn

?k?jj?j12(?1)?(j1j2?jn)a1j1?aiji?anjn ＝右边。

n推论2：某行（列）元素全为0，则行列式为0。

推论3：两行（列）元素成比例，则行列式为0。 性质4：（“加法”规则）

a11a12?a1n??an1a11??bi1?an1a12bi2??an2?a1n??????an2?ann???a11??an112n?bi1?ci1bi2?ci2?bin?cin?anna12ci2?a1n?cin ??????an2?ann1j1

?bin?ci1证明：左边?(?1)?(jj?j)a?jj?j12n?(aij?bij)?anjn

ii??jj?j12(?1)?(j1j2?jn)[a1j1?aji?anjn?a1j1?biji?anjn]＝右边。

n性质5：某一行（列）元素的k倍加到另一行（列）对应元素上，行列式不 ????????ai1ai2?????ain??ai1???ai2?ain变。即

?aj1?kai1???? ???aj2?kai2?ajn?kainaj1aj2?ajn证明：由性质4和性质3的推论立即得证。

在计算行列式时，可利用性质2和性质5把行列式化为上（下）三角行列式。通常用记号ri?rj(ci?cj)表示互换行列式的第i行（列）和第j行（列）；用

rj?kri表示第i行元素的k倍加到第j行对应的元素上。类似地，cj?kci表示列

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