2014北京东城高考二模数学理（含答案）(3)

设n?(x,y,z)是平面CDE的一个法向量，则n?DE?0，n?DC?0， 即??x?z?0,

??x?y?0.令x?1，则n?(1,1,?1)．

设直线BE与平面CDE所成的角为?， 则sin??|cos?BE,n?|?|BE?n||2?22?2|2??．

3|BE|?|n|23?32． ……………1０分 3所以BE和平面CDE所成的角的正弦值（III）设CF??CE，??[0,1]．

DC?(?2,2,0)，CE?(22,?2,2)，DB?(0,22,0)．

则DF?DC?CF?DC??CE?2(2??1,???1,?)．

设m?(x',y',z')是平面BEF一个法向量，则n?EB?0，n?EF?0， 即??y'?0,

(2??1)x'?(???1)y'??z'?0.?2??1令x'?1，则m?(1,0,??)．

2??11?0，???[0,1]．

3若平面BEF?平面CDE，则m?n?0，即1??所以，在线段CE上存在一点F使得平面BEF?平面CDE．……………14分

（18）（共13分）

a(1?x2)a(1?x)(1?x)?解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为R,f?(x)?2， 222(x?1)(x?1) 因为a?0，

所以，当x??1，或x?1时，f'(x)?0；

当?1?x?1时，f'(x)?0．

所以，f(x)的单调递增区间为(?1,1),单调递减区间为(??,?1),(1,??)．

……6分

（Ⅱ）因为f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,e)上单调递减，

ea?2a?2a， 2e?1所以，当x?(0,e)时，f(x)?2a．

又f(0)?2a，f(e)? 11 / 13

aa?x?1?． xx所以当a?e时，函数g(x)在区间(0,e)上是增函数， 所以，当x?(0,e)时，g(x)?g(e)?2a?e?2a． 所以，当x?(0,e)时，

对于任意的x1,x2?(0,e)，都有f(x1)?2a，g(x2)?2a，所以f(x1)?g(x2)． 当0?a?e时，函数g(x)在区间(0,a)上是增函数，在区间(a,e)上是减函数， 所以，当x?(0,e)时，g(x)?g(a)?alna?2a． 所以，当x?(0,e)时，

对于任意的x1,x2?(0,e)，都有f(x1)?2a，g(x2)?2a，所以f(x1)?g(x2)．

由g(x)?alnx?x?a，可得g'(x)?综上，对于任意的x1,x2?(0,e)，都有f(x1)?g(x2)． ……………13分

（19）（共13分）

c6． ?a3 可得a2?6，b2?2．

x2y2 故椭圆方程为??1． ………………………………………………５分

62（Ⅱ）直线l的方程为y?k(x?2)．

?y?k(x?2),? 联立方程组?x2y2?1.??2?6 消去y并整理得(3k2?1)x2?12k2x?12k2?6?0．

设A(x1,y1)，B(x2,y2)．

解（Ⅰ）依题意有c?2，

12k212k2?6故x1?x2?，x1x2?． 223k?13k?1则AB?1?k2x1?x2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2] 26(k2?1) ?． 23k?1 设AB的中点为M(x0,y0)．

2k6k2 可得x0?2，y0??2．

3k?13k?11直线MP的斜率为?，又 xP?3，

k1k2?13(k2?1)所以MP?1?2?x0?xP?． ?22kk(3k?1)当△ABP为正三角形时，MP?3AB， 2k2?13(k2?1)326(k2?1)可得， ???222k(3k?1)23k?1解得k??1．

即直线l的方程为x?y?2?0，或x?y?2?0．………………………………13分

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（20）（共14分）

解：（Ⅰ）f(99)?92?92?162；

f(2014)?22?02?12?42?21． ………………5分 （Ⅱ）假设a1是一个n位数（n?3）， 那么可以设a1?bn?10n?1?bn?1?10n?2??b3?102?b2?10?b1，

其中0?bi?9且bi?N（1?i?n），且bn?0．

22由a2?f(a1)可得，a2?bn?bn?1??b32?b22?b12．

a1?a2?(10n?1?bn)bn?(10n?2?bn?1)bn?1?所以a1?a2?(10n?1?(102?b3)b3?(10?b2)b1?(1?b1)b1,

?bn)bn?(b1?1)b1．

n?1因为bn?0，所以(10?bn)bn?99．

而(b1?1)b1?72，

所以a1?a2?0，即a1?a2． ………………9分

222（Ⅲ）由a1?1000，即a1?999，可知a2?9?9?9?243．

222同理an?999，可知an?1?9?9?9?243．

由数学归纳法知，对任意n?N*，有an?999． 即对任意n?N*，有an?{1,2,3,,999}．

因此，存在p,q?N*（p?q），有ap?aq． 则ap?1?aq?1，ap?2?aq?2，…，aq?1?aq?q?p?1， 可得对任意n?N*，n?p，有an?q?p?an． 设q?p?T，即对任意n?p，有an?T?an． 若T?p，取m?T，n?2m，则有a3m?a2m． 若T?p，由an?T?an，可得an?pT?an，

取m?pT，n?2m，则有a3m?a2m． ………………14分

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