天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）（Word版含解析）(4)

设平面A1BC1的法向量为z2）． 则

，平面B1BC1的法向量为=（x2，y2，

，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴

．

，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴

．

===．

∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为

．

（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D∴∵∴∴

．

=

，∴

，

，， ，解得t=

．

=（0，3，﹣4），

点评： 本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．

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18．（13分）如图，椭圆E：

的左焦点为F1，右焦点为F2，离心

率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．

（Ⅰ）求椭圆E的方程．

（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题： 综合题；压轴题．

分析： （Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b=a﹣c=3，即可求得椭圆E的方程．

2

2

2

（Ⅱ）由，消元可得（4k+3）x+8kmx+4m﹣12=0，利用动直线l：y=kx+m与

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椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m≠0，△=0，进而可得P（得Q（4，4k+m），取k=0，m=

；k=

，），由

，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M

（1，0），再进行证明即可． 解答： 解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8． ∴4a=8，∴a=2 ∵e=，∴c=1 ∴b=a﹣c=3 ∴椭圆E的方程为

．

2

2

2

（Ⅱ）由，消元可得（4k+3）x+8kmx+4m﹣12=0

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∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）

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∴m≠0，△=0，∴（8km）﹣4×（4k+3）×（4m﹣12）=0

22

∴4k﹣m+3=0① 此时x0=由

=

，y0=，即P（

，）

得Q（4，4k+m）

2

取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）+（y﹣2

=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0） 取k=

，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）+（y﹣）=

2

2

），

交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）

故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下 ∵∴

故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）

点评： 本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．

19．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若4Sn=（2n﹣1）an+1+1，且a1=1． （Ⅰ）证明：数列{an}是等差数列，并求出{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=

，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜．

考点： 数列的求和．

专题： 等差数列与等比数列．

分析： （Ⅰ）利用4Sn=（2n﹣1）an+1+1，写出4Sn﹣1=（2n﹣3）an+1，两式相减，得

，利用累加法求解an，判断数列{an}是首项为1，公差为2的等差

数列．

（Ⅱ）利用放缩法以及裂项法，直接证明求解即可．

解答： （Ⅰ）证明：因为4Sn=（2n﹣1）an+1+1，所以当n≥2时，4Sn﹣1=（2n﹣3）an+1， 两式相减，得4an=（2n﹣1）an+1﹣（2n﹣3）an（n≥2）， 所以（2n+1）an=（2n﹣1）an+1，即

在4Sn=（2n﹣1）an+1+1中，令n=1，得a2=3， 所以

，

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=，

所以an﹣an﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣3）=2（n≥2），

故数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，且an=2n﹣1． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当n=1时，

；

，

当n≥1时，，

所以．

点评： 本题考查等差数列的判定，数列的递推关系式的应用，放缩法以及裂项求和的应用，考查分析问题解决问题的能力．

20．（14分）设函数f（x）=lnx+x﹣ax（a∈R）． （Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2； （Ⅲ）设g（x）=f（x）+2ln

2

2

，对于任意a∈（2，4），总存在，使g（x）

＞k（4﹣a）成立，求实数k的取值范围．

考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

专题： 综合题；导数的综合应用．

分析： （Ⅰ）当a=3时，求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）函数f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）=

=0，即2x﹣ax+1=0有两

2

2

个不相等的实数根，结合韦达定理，可得（fx1）﹣（fx2），构造新函数F（x）=2lnx﹣x+（0＜x≤1），确定其单调性，即可得出结论； （Ⅲ）确定g（x）在

+ln2

上单调递增，可得g（x）max=g（2）=2ln（2a+2）﹣2a+4

2

﹣2ln6，h（a）=）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6﹣k（4﹣a），分类讨论，确定单调性，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=令f′（x）＞0，可得0＜x＜或x＞1，f′（x）＜0，可得＜x＜1，

，

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∴f（x）的递增区间为（0，）和（1，+∞），递减区间为（，1）； （Ⅱ）证明：∵函数f（x）有两个极值点x1，x2， ∴f′（x）=

∴x1+x2=，x1x2= ∴2（x1+x2）=a，x2=

，

2

2

2

=0，即2x﹣ax+1=0有两个不相等的实数根，

2

∴f（x1）﹣f（x2）=lnx1+x1﹣ax1﹣（lnx2+x2﹣ax2）=2lnx1﹣x1+

+ln2（0＜x≤1）．

设F（x）=2lnx﹣x+

2

+ln2（0＜x≤1），则F′（x）=﹣＜0，

∴F（x）在（0，1）上单调递减，

∴F（x）≥F（1）=﹣+ln2，即f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2； （Ⅲ）解：g（x）=f（x）+2ln

=2ln（ax+2）+x﹣ax﹣2ln6，

2

∴g′（x）=，

∵a∈（2，4），∴x+∴g′（x）＞0， ∴g（x）在

＞0，

上单调递增，

∴g（x）max=g（2）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6，

2

∴2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6＞k（4﹣a）在（2，4）上恒成立．

2

令h（a）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6﹣k（ …… 此处隐藏：1471字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……