天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）（Word版含解析）(3)

点评： 本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 11．（5分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，BE的延长线交△DEC的外接圆于F，则EF的长为

．

考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 直线与圆；推理和证明．

分析： 由已知条件求出BD=2，BE=，再由切割线定理知BE?BF=BD?BC，由此能求出

EF．

解答： 解：∵在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5， D是BC的中点，BE⊥AC于E， ∴BD=2，BE=

=

，

∵BE?BF=BD?BC， ∴解得EF=故答案为：

． ．

，

点评： 本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．

12．（5分）已知直线l的参数方程为

（t为参数），圆C的参数方程为

（θ为参数） 则圆C上的点到直线l的距离的最大值为3．

考点： 参数方程化成普通方程． 专题： 坐标系和参数方程．

分析： 直线l的参数方程为数方程为

（t为参数），消去参数化为3x﹣4y+4=0，圆C的参

2

2

（θ为参数），利用cosθ+sinθ=1，可得圆的普通方程．求出圆心到

直线l的距离d．即可得出圆C上的点到直线l的距离的最大值=d+r．

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解答： 解：直线l的参数方程为圆C的参数方程为

2

（t为参数），消去参数化为3x﹣4y+4=0，

2

2

（θ为参数），∵cosθ+sinθ=1，∴圆的普通方程为（x﹣2）

+y=1．

=2．

2

圆心（2，0）到直线l的距离d=

则圆C上的点到直线l的距离的最大值=d+r=3．

故答案为：3．

点评： 本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，△ACD是等边三角形，则

的值为．

考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用．

分析： 通过题意可知AD=AC=5，cos∠CAD=，cos∠BAC=，利用?

，代入计算即可．

=?﹣

解答： 解：∵AB⊥BC，AB=3，BC=4， ∴AC=

=5，cos∠BAC=，

又∵△ACD是等边三角形， ∴AD=AC=5，cos∠CAD=， ∴===

?（?

﹣﹣﹣?）

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=，

故答案为：．

点评： 本题考查平面向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于中档题．

14．（5分）已知函数f（x）=a+x﹣xlna，对?x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立，则a的取值范围a≥e．

考点： 利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 计算题；导数的综合应用．

x2

分析： 对?x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立等价于|f（x1）﹣f（x2）|max≤a﹣1，而|f（x1）﹣f（x2）|max=f（x）max﹣f（x）min，利用导数可判断函数的单调性，由单调性可求得函数的最值，解不等式即可．

xx

解答： 解：f′（x）=alna+2x﹣lna=（a﹣1）lna+2x，

x

当a＞1时，x∈[0，1]时，a≥1，lna＞0，2x≥0， 此时f′（x）≥0；

x

当0＜a＜1时，a≤1，lna＜0，2x≥0，此时也有f′（x）≥0， 综上知，f（x）在[0，1]上单调递增，

f（x）min=f（0）=1，f（x）max=f（1）=a+1﹣lna， 而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min=a﹣lna， 由题意得，a﹣lna≤a﹣1，解得a≥e， 故答案为：a≥e．

点评： 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问难的能力．

三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．） 15．（13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分． （Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；

（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．

考点： 离散型随机变量的期望与方差． 专题： 概率与统计．

分析： （Ⅰ）确定乙得分的取值，求出相应的概率，即可求得分布列和数学期望； （Ⅱ）利用对立事件的概率公式，即可求得甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率． 解答： 解：（Ⅰ）设乙的得分为X，X的可能值有0，10，20，30…（1分）

，，

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…（5分）

乙得分的分布列为： X 0 P …（6分）

所以乙得分的数学期望为15…（8分） （Ⅱ）乙通过测试的概率为甲通过测试的概率为甲、乙都没通过测试的概率为

因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为

…（9分）

…（11分）

…（13分）

10

20

30

点评： 本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cosx+1 （1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间； （2）在△ABC中，若f（）=2，b=1，c=2，求a的值．

考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；余弦定理． 专题： 三角函数的图像与性质；解三角形．

分析： （Ⅰ）函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期，由正弦函数的单调性即可确定出f（x）的单调递增区间；

2

（Ⅱ）由f（）=2，得到sin（A﹣）=1，确定出A的度数，求出cosA的值，再由b，c

的值，利用余弦定理即可求出a的值． 解答： 解：（Ⅰ）f（x）∵ω=2，∴最小正周期T=由2kπ﹣

≤2x﹣

≤2kπ+

sin2x﹣cos2x=2（=π； ，k∈Z得，kπ﹣

，kπ+

≤x≤kπ+

，k∈Z，

sin2x﹣cos2x）=2sin（2x﹣

），

则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣]（k∈Z）；

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（Ⅱ）∵f（）=2，∴2sin（A﹣∴A﹣

=

+2kπ，k∈Z，即A=

，

）=2，即sin（A﹣+2kπ，k∈Z，

）=1，

又0＜A＜π，∴A=

由余弦定理及b=1，c=2，cosA=﹣得：a=b+c﹣2bccosA=7，即a=1+4+2=7，

解得：a=．

点评： 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，余弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C …… 此处隐藏：1817字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……