天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）（Word版含解析）

天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）

一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．） 1．（5分）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z=（） A． ﹣2﹣2i B． ﹣2+2i C． 2﹣2i D．2+2i

2．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2+1}，B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}，则（?UA）∩B=（） A． ?

B． {x|＜x≤1}

C． {x|x＜1}

D．{x|0＜x＜1}

x

3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）

A． 2 B． 4 C． 5 D．20 4．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则（） A． α∥β且l∥α B． α⊥β且l⊥β C． α与β相交，且交线垂直于l D． α与β相交，且交线平行于l

5．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a=b=3，a+b=2 A． 2

6．（5分）设

（b）≥0的（） A． 充分必要条件 C． 必要而非充分条件

7．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：

2x

y

的最大值为（） D．

B． C． 1

，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f

B． 充分而非必要条件

D． 既非充分也非必要条件

+y=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2

在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）

版权所有：中华资源库 www.ziyuanku.com

A．

B． C． D．

8．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）

A． B．

C． D．

二、填空题：（每小题5分，共30分．） 9．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果

是．

10．（5分）已知

，则二项式

的展开式中含x

2

项的系数是． 11．（5分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，BE的延长线交△DEC的外接圆于F，则EF的长为．

版权所有：中华资源库 www.ziyuanku.com

12．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为

（θ为参数） 则圆C上的点到直线l的距离的最大值为． 13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，△ACD是等边三角形，则

的值为．

14．（5分）已知函数f（x）=a+x﹣xlna，对?x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立，则a的取值范围．

三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．） 15．（13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分． （Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；

（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．

16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cosx+1 （1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间； （2）在△ABC中，若f（）=2，b=1，c=2，求a的值．

17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5． （Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；

（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；

（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求

的值．

2

x

2

版权所有：中华资源库 www.ziyuanku.com

18．（13分）如图，椭圆E：

的左焦点为F1，右焦点为F2，离心

率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．

（Ⅰ）求椭圆E的方程．

（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

19．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若4Sn=（2n﹣1）an+1+1，且a1=1． （Ⅰ）证明：数列{an}是等差数列，并求出{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=

20．（14分）设函数f（x）=lnx+x﹣ax（a∈R）． （Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2； （Ⅲ）设g（x）=f（x）+2ln

2

2

，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜．

，对于任意a∈（2，4），总存在，使g（x）

＞k（4﹣a）成立，求实数k的取值范围．

天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）

版权所有：中华资源库 www.ziyuanku.com

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．） 1．（5分）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z=（） A． ﹣2﹣2i B． ﹣2+2i C． 2﹣2i D．2+2i

考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数．

分析： 由复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，变形为得出．

解答： 解：∵复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5， ∴

=

=2+2i．

，再利用复数的运算法则即可

故选：D．

点评： 本题考查了复数的运算法则，属于基础题．

2．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2+1}，B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}，则（?UA）∩B=（） A． ?

B． {x|＜x≤1}

C． {x|x＜1}

D．{x|0＜x＜1}

x

考点： 绝对值不等式的解法；交、并、补集的混合运算；函数的值域． 专题： 集合．

分析： 求出两个集合，然后求解补集以及交集即可．

解答： 解：全集U=R，A={y|y=2+1}={y|y＞1}，∴?UA={y|y≤1} B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}={x|则（?UA）∩B={x|＜x≤1}．

故选：B．

点评： 本题考查函数的定义域，绝对值不等式的解法，集合的交、并、补的运算，考查计算能力．

}，

x

3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）

A． 2 B． 4

考点： 简单线性规划．

专题： 不等式的解法及应用．

C． 5 D．20

版权所有：中华资源库 www.ziyuanku.com