《高中竞赛教程》教案：第20讲 共点共线共圆问题（教师）

第20讲 共点、共线与共圆问题

本节主要内容有共点、共线与共圆概念及常用证明方法．所谓共点，指n条(n≥3)直线经过同一点．或n个(n≥3)圆经过同一点; 共线，指的三个及以上的点在同一条直线上; 共圆，指不在一条直线上的三点确定一个圆,以及有四点或四个以上的点在同一个圆上．证明中常用到Menelaus定理、Ceva定理、Fermat点、Simson线、Euler线、四点共圆等知识．

A类例题 例1 设线段AB的中点为C，以AC为对角线作平行四边形AECD、BFCG，又作平行四边形CFHD、

D CGKE，求证：H、C、K三点共线．

分析 C为AB中点，若C为HK的中点，

G H

则AKBH为平行四边形．反之，若平行四边形成立，

A

B 则H、C、K共线． C 证明 连AK、DG、BH． K F

∵ AD∥EC∥KG，AD＝EC＝KG，

E

∴ 四边形AKGD是平行四边形． ∴ AK∥GD，AK＝GD．

同理，BH∥GD，BH＝GD，∴ BH∥AK，BH＝AK，

∴ 四边形AKBH是平行四边形．故AB、HK互相平分，即HK经过AB的中点C． ∴ H、C、K三点共线．

说明 证明具有特殊的性质的几个点共线． 链接 点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零；还可以利用Menelaues定理及其逆定理证明三点共线等．n(n≥4)点共线可转化为三点共线．

例2 求证：过圆内接四边形各边中点向对边所作的四条垂线，交于一点．

分析 画出图形，是必要的，可以研究一下两条垂线的交点的性质，不难发现证明的方法． 证明 若ABCD是特殊图形(矩形、等腰梯形)，易知结论成立．

如图，设圆内接四边形ABCD的对边互不平行．E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，EE'⊥CD，FF'⊥DA，GG'⊥AB，HH'⊥BC，垂足分别为E'，F'，G'，H'．

设EE'与GG'交于点P．∵ E为AB中点，∴ OE⊥AB，∴OE∥

CEE'．

GE'同理，OG∥EE'．∴ OEPG为平行四边形．

DH'∴ OP、EG互相平分．即OP经过EG中点M．

QFF'同理，设FF'与HH'交于Q，则OQ经过FH中点N． PMOH∵ E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，

∴ EFGH是平行四边形，∴EG、FH互相平分，即EG的中点就ABEG'是FH的中点于是M与N重合．

∴ OP、OQ都经过点M且OP＝OQ＝2OM． ∴ P、Q重合，即四条垂线交于一点．

说明 本题利用了两条直线的交点具有某种性质来证明三线共点． 链接 证明线共点还可用有关定理(如三角形的3条高线交于一点、Ceva定理及逆定理等)，或证明第3条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明．

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例3 ⊙O1与⊙O2相交于点A、B，P为BA延长线上一点， 割线PCD交⊙O1于C、D，割线PEF交⊙O2于E、F， 求证：C、D、E、F四点共圆．

分析 可以通过C、D、E、F连成的四边形的对角互补或 四边形的外角等于内对角来证明．

证明 链接CE、D F，PC·PD=PA·PB=PE·PF．

D于是，ΔPCE∽ΔPFD， ∴ ∠PEC=∠PDF． ∴ C、D、E、F共圆． PCEAO1BO2F 链接 证明共圆常用的方法有：证明几个点与某个定点距离相等；如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等；证明凸四边形对角互补(或外角等于内对角)．(特别的，如果几个点对同一条线段张角为直角，则这几个点在以这条线段为直径的圆上．)证明这四点可以满足圆幂定理． 情景再现 1．⊙I内切于⊿ABC，D为BC上的切点，M、N分别为AD、BC的中点，求证：M、I、N三点共线． 2. 证明三角形的三条高所在直线交于一点；三条中线交于一点；三条角平分线交于一点．

3. 设PQ、QR是⊙O的内接正九边形的相邻两边．A为PQ中点，B为垂直于QR的半径的中点． 求∠BAO．

B类例题 例4 设等腰三角形ABC的两腰AB、AC分别与⊙O切于点D、E，从点B作此圆的切线，

其切点为F，设BC中点为M，求证：E、F、M三点共线．

分析 显然此圆和三角形的位置需要分情况讨论，要证明E、F、M三点共线，

可以证明连线成角为0?或180?，于是有下面的证明． 证明 ∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，

∴ 直线AO是∠BAC的平分线．故AO所在直线通过点M． ∴ ∠OMB＝90?，又∠ODB＝90?，∴D、O、M、B四点共圆． ∴ ∠DFM＝∠DOM．且∠ABM＋∠DOM＝180?． AA1

∵ ∠DFE＝2∠DOE＝∠ABM．

∴ ∠DFE＋∠DFM＝180?． ∴ E、F、M共线．

如果切点F在三角形外，则由D、B、F、M、O共圆， 得∠DFM＝∠DBM．

DOEDFBMCEOCBFM1

而∠DBM＝∠AOD＝∠DOE＝∠DFE．∴ ∠DFM＝∠DFE．

2

∴ F、M、E共线．

说明 证明三点共线常证明连线成角为0?或180?．

例5 以锐角△ABC的BC边上的高AH为直径作圆，分别交AB、AC于M、N，

过A作直线lA⊥MN，用同样的方法作出直线lB，lC， 求证：lA、lB、lC交于一点．

分析 如果能证明这三条直线都经过三角形的外心，则此三线共点． MB证明 取△ABC的外接圆O，连HN，DB． 则∠CAD与∠MNH都是∠ANM的余角，

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ANOHCD∴ ∠MNH＝∠CAD，

∵ ∠MNH＝∠MAH，∠CAD＝∠CBD，∴ ∠CBD＝∠MAH， ∵ ∠BAH＋∠ABH＝90?，∴ ∠CBD＋∠CBA＝90?．

∴ lA是⊙O的直径．即AB过⊙O的圆心O．同理lB、lC都过点O． 即lA、lB、lC交于一点． 链接 利用某些特殊点证明三线共点是常用的方法，三角形的五心是经常用到的．对于三角形的五心的性质，同学们可以参见第十七讲的内容． 例6 在ΔABC的边AB、BC、CA上分别取点D、E、F，使DE=BE，EF=EC． 证明：ΔADF的外接圆圆心在∠DEF的平分线上．

A 分析 设O为ΔADF的外接圆圆心，于是OA=OD=OF．

若EO是∠DEF的平分线，则出现了等线段对等角的情况， O F

D 这在圆中有此性质．故应证明O、D、E、F共圆．

证明 ∵ EC=EF，∴ ∠2=180?－2∠C，

1 2 同理，∠1=180?－2∠B， B C E

∴ ∠DEF=180?－∠1－∠2=2(∠B+∠C)－180?

=2(180?－∠A)－180?=180?－2∠A．

但O为ΔADF的外接圆圆心，∴∠DOF=2∠A，∴∠DEF+∠DOF=180?，

∴ O、D、E、F四点共圆．但OD=OF，∴∠DEO=∠OEF，即O在∠DEF的角平分线上． 情景再现

·O为△ABC外接圆，M为其上一点，连接MC交AB于E，AM交CB4. 菱形ABCD中，∠A=120°，○

延长线于F．求证：D，E，F三点共线．

5．设P、Q、R分别为△ABC的外接圆O上弧BC、CA、AB的中点． PR、PQ分别交AB、AC于点D、E，求证：DE∥BC． R A A M Q F D E O E O B D B C

C P

6．以△ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ABDE、ACFG，△ABC的高为AH， 求证：AH、BF、CD三线交于一点．

7. 如图，两个正三角形ΔEFG与ΔE'F'G'都内接于正方形ABCD，求证：EE'GG'是平行四边形．

E

A D

M E G'

E' G

G A D

F

B H C B F F'

C

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C类例题 例7 设AD、BE、CF为△ABC的三条高，从点D引AB、BE、CF、AC的垂线DP、DQ、DR、DS，垂足分别为P、Q、R、S，求证：P、Q、R、S四点共线．

分析 这里有多个四点共圆，又有多个垂线．四点共圆，可以看成圆的内接三角形与圆上一点．故适用于Simson线．

A证明 设H为垂心．

F由∠HDB＝∠HFB＝90?，∴ H、D、B、F四点 …… 此处隐藏：3794字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……