2013年-高等工程数学试题

中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）

考试日期： 时间100分钟

注：解答全部写在答题纸上

一、填空题(本题24分，每小题3分)

1. 对矩阵 A 进行Cholesky分解的条件是： ， 进行Doolittle 分解的条件是 ； 2．设由一组观测数据(xi,yi),i?1,2,...,10 计算得

2?xi?120,；则y对x的线性回归方程为

?5?6?23．如果Ax?b,A???5??3??5135616?xi?20,?yi?100,?xiyi?240，

1?4??1? ，矩阵A?? ， 利用Jacobi和 Gauss-Seidel迭代法5??5?6??求解此方程组的敛散性情况是 ；

4. 设总体X 服从[0，?]上的均匀分布，则?的极大似然估计为 ；?的矩法估计为 ；

25．函数y?f(x1,x2)?x1x2?x2，已知x1和x2的绝对误差分别为?(x1)和?(x2)，则?(y)? ；

?maxcx?tAx?b 的对偶线性规划是 ，两个线性规划的最优目标6．线性规划?s..?x?0?值 ；

7．设方程f(x)?0与x??(x)等价，迭代函数?(x)满足： 时，

**可用迭代法求方程f(x)?0在区间[a,b]上唯一解x的近似值，x?xk? ；

8. 设a?x0?x1???xn?1?xn?b为区间[a,b]的n等分点，Tn和T2n为定积分形公式，则其复合辛普森公式Sn= 。

?baf(x)dx复合梯

二、（本题14分）设有钢材132根，长17米，需轧成配套钢料。每套由7根3米长与2根8米长的钢梁组成，问如何下料使钢材废料最少（设不计下料损耗）？

（1）建立使工厂利润最大的生产计划数学模型；

（2）将模型标准化；基于人工变量大M法利用单纯形法求解，列出求解过程。

三、 （本题10分）用Newton迭代法求方程f(x)?e2x?2?0的最小正根，初值取为x0?1，给出第k近

*似误差x?xk的估计式。

四、（本题10分）已知f(x)的数据如表：

x 0 1 2 4 f(x) -5 3 0 6 用Lagrange插值法求函数f(x)的三次值函数L3(x)，给出用L3(3.2)作为f(3.2)的近似值的误差估计式。

五、（本题7分）试确定求积公式

11f(x)dx?Af(?)?Af() 中的待定系数A0,A1，使其代数精度01? ?122 1尽量高。

六、（本题12分）随机地抽取北京市郊区20名男性老人与16名普通男子作血压调查，测得其收缩压（单位：kpa）的样本均值分别为x?18.8,2y?17.2，样本方差分别为s12?23.6,s2?12.8。假定收缩压

都服从正态分布① 试比较男性老人与普通男子之间收缩压的标准差有无显著差异？（取α= 0.05）②求男

性老人与普通男子收缩压之差的置信度为0.95的置信区间。

七、（本题12分）为了改进录音带质量，今比较四种不同磁粉的录音带的放音效果，用这四种不同磁粉的录音带录音，其放音效果的测量数据如下 录音带 1 2 3 4 放音效果 10 15 8 12 15 14 18 21 15 17 16 14 15 17 15 18 12 15 17 15 16 15 ?x i?xi758 1186 1804 1364 5112 2 60 68 112 90 330 试问这四种磁粉的平均放音效果有无差异？（取α= 0.05）

?1a0??1?????八、（本题11分）对方程组：a1ax?1， ???????0a1???1??（1）建立求解该方程组的Jacobi法和Gauss-Seidel法的迭代计算式； （2）分析讨论 a 的取值范围，使 Jacobi 迭代法收敛。