浙江工业大学《固体物理》试卷A卷参考解答(2013.1)

浙江工业大学《固体物理学》课程期末试卷（A）参考解答

班级____________姓名___________学号_____________成绩_________

一、填空题：（每题3分, 共30 分）

1 晶体按对称性可分为__七__个大晶系，共有__14___种布拉菲格子 2. 晶体结构可简化为基元+ 点阵构成，因此，晶体的宏观对称性可能有的旋转对称操作包含（1，2，3，4，6）重轴。

3. 将晶体中相互作用的电子和原子核构成的多粒子体系简化成周期场中运动的单电子模型所作的近似有（绝热近似、平均场单电子近似和周期场近似）。

4. 金刚石晶体的结合类型是典型的___共价结合____晶体，其基元包括__2____个不等价的碳原子。在晶体中有___3_____支声学波和___3____支光学波；

????5. 对晶格常数为a的SC晶体，与正格矢R?ai?2aj?2ak正交的倒格子晶面族的

面指数为_（122）__，其面间距为__2?/3a_

6. 离子晶体的内能来自晶体中所有离子相互吸引库仑能和重叠排斥能之和。其体变模量K主要取决于_排斥力变化率_；其结合能主要贡献来自于_库仑能_。

????ik?r7. 根据布洛赫定理，固体中电子的波函数可表示为?(r)?euk(r)。

8. 在第一布里渊区的中心附近，费米面为（近似球面）

9. 负电性是用来标志 原子得失电子能力 的物理量。同一周期，原子的负电性不断 加强（增加） 。

10. 设一维简单晶格是由N个格点组成，则一个能带能容纳2N个电子。一个能带包含的能级数是N/2个。

二、解答题（每题4分, 共20 分）

???1.试解释能量不连续面方程Gn?(k?Gn/2)?0几何意义和物理意义

??几何意义：在k空间从原点所作的倒格子矢量Gn垂直平分面方程，即布里

（《固体物理学》 课程 第 １ 页 共6页）

渊区边界。

?物理意义：基于近自由电子模型求能带结构时，在该垂直平分面上的k, 非

简微扰不适用，而应运用简并微扰。（其物理意义相当于布洛赫波被晶格散射时满足布啦格衍射而相互加强，非简微扰不适用，而应运用简并微扰） 2. 简述近自由电近似和紧束缚近似的物理思想

近自由电子近似：金属中电子受周期场作用，周期场偏离其平均值起伏较小，作为零级近似，略去起伏，而将起伏作为微扰来处理。

紧束缚近似：电子在原子（格点）附近，主要受该原子势场作用，而将其它原子（格点）势场对该电子的作用视作微扰。 3. 分析固体物理学中原胞与单胞的区别和联系。

在结晶学中,晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性；而原胞的选取只考虑晶体结构周期性。单胞的体积一般为原胞体积的整数倍。

4. 波矢空间与倒格空间有何关系?为什么说波矢空间内的状态点是准连续的?

b2、 b3, 而波矢空间与倒格空间处于统一空间，倒格空间的基矢分别为b1、 b2/N2、 b3/N3, N1、N2、N3分别是沿正格子波矢空间的基矢分别为b1/N1、 a2、 a3方向晶体的原胞数目. 基矢a1、倒格空间中一个倒格点对应的体积为

b1?( b2 ?b3)??*,

波矢空间中一个波矢点对应的体积为

b3b1b2?*?(?)?N1N2N3N,

即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N. 由于N是晶体的原胞数目, 数目巨大, 所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的. 也就是说, 波矢点在倒格

（《固体物理学》 课程 第 ２ 页 共6页）

空间看是极其稠密的. 因此, 在波矢空间内作求和处理时, 可把波矢空间内的状态点看成是准连续的.

????????5. 在立方晶格中，原胞基矢为a1?ai，a2?aj，a3?(a/2)(i?j?k)的晶体

为何种结构? 为什么？ 晶体的原胞的体积

1???v0?a1?(a2?a3)?a3

2 构造新的矢量

???a???v?a3?a2?(i?j?k)

2???a???u?a3?a1?(?i?j?k)

2????a???w?a1?a2?a3?(i?j?k)

2原胞的体积和新基矢推断, 晶体结构为体心立方结构

三、计算题（共4题，50分）

1（15分）. 试求由5个原子组成的一维单原子晶格振动频率。设原子质量m?8.35?10?24g,恢复力常数??15N/m。

d2?n解：第n个原子的动力学方程：m2??(?n?1??n?1?2?n)

dt其通解为：?n?Ae代入上式得??2i(?t?naq)

4?aqsin2() （或直接给出此式5分） m22??h Na利用波恩-卡门条件（周期性边界条件）?N?n??n，得q?因为??a?q??a，所以?NN?h?，N=5，故h=-2,-1,0,1,2，q只有取： 22 q??4?2?2?4? ,?,0,,5a5a5a5a（《固体物理学》 课程 第 ３ 页 共6页）

故有：?1??5?8.06?10rad/s ?2??4?4.99?10rad/s

?3?0 10分

13132(10分).设晶体中有N个原胞，每个原胞中只有一个原子。晶体中每个振

1子的零点振动能为??，试分别利用爱因斯坦模型和德拜模型求晶体的零

2点振动能。（已知德拜模型的模式密度为g????积，德拜温度为?D）

3V2?，V为晶体的体232?vs解：根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K时振动能E0就是各振动模零点能之和。 对于爱因斯坦模型，有

13E0?3N????N?? 5分

22对德拜模型，有

E0???m0E0???g???d????m013V3V?4????23?2d? ? m2316?vs22?vs又因： 3N???m03V3V23?d???， m23232?vs6?vs3V?m?N 所以有 236?vs这样E0?3V?94???N?m m2316?vs8由于??m?kB?D 得E0?9NkB?D 5分 8一股晶体德拜温度为~102K，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温

（《固体物理学》 课程 第 ４ 页 共6页）

升数百度所需热能相比拟．

???ik?Rlate3(15分).根据紧束缚近似，S态电子能量为E(k)?Es?J0?J1?，应?Rl用最近邻近似，导出（1）晶格常数为a的一维s态电子能量表达式；（2）带顶和带底的有效质量；（3）能带宽度。

???ik?Rlate解：（1）E(k)?Es?J0?J1?考虑最近临格点，其坐标分别为（-a、?Rl0）和（a、0）代为公式可得其结果为：

? E(k)?Esat?J0?2J1coska ……….5分

?2E?2（2）m??/2?2

?k2aJ1coska*2?2能带底部k?0 有效质量m?2

2aJ1*?2能带顶部k? 有效质量m??2 5分

2aJ1a?*（4）能带宽度 ?E?E(?a)?E(0?)4J1 5分

4(10分)设电子在周期性场中的势能函数为：

?V, na?x?(n?1)a?dV(x)??0，其中a=2d。

0, (n?1)a?d?x?(n?1)a?（1） 画出此势能曲线，并求其平均值；

（2） 用近自由电子近似模型，求出晶体的第一个及第二个禁带宽度。 解：(1)画势能曲线 2分

V1a1d平均值：V??V(x)dx??V0dx?0 3分

a0a02(2)自由电子近似中，势能函数的第n个傅里叶系数

|V(n)|?1V0ea?0d?i2?nxadx??V0?1eai2?n/a?i2?ndxa0?V0?(?1)n?1???2?n

（《固体物理学》 课程 第 ５ 页 共6页）

Eg1?2|V(1)|?V0? 5分

Eg2?2|V(2)|?0

V(x)V0xd2d3d

（《固体物理学》 课程 第 ６ 页 共6页）