西安电子科技大学电磁场大作业 - 图文(2)

在直角坐标系中，拉普拉斯方程为

?2?2?2?2?2?0 （式1.3.1） 2?x?y?z设?可以表示为三个函数的乘积，即

?(x,y,z)?X(x)Y(y)Z(z) （式1.3.2）

其中，X只是x的函数，同时Y只是y的函数，Z只是z的函数。将（式1.3.2）带入（式1.3.1），得

d2Xd2Yd2ZYZ?XZ2?XY2?0 （式1.3.3）

dx2dydz然后（式1.3.3）各项除以XYZ，得

X??Y??Z?????0 （式1.3.4） XYZ以上方程的第一项只是x的函数，第二项只是y的函数，第三项只是z的函数，要这一方程对任一组（x,y,z）成立，这三项必须分别为常数，即

X??X??2 （式1.3.5a） Y??Y??2 （式1.3.5b） Z??Z??2 （式1.3.5c）

这样，就将偏微分方程化为三个常微分方程，?,?,?是分离常量，都是待定常数，与边界条件有关。它们可以是实数，也可以是虚数，且由（式1.3.4）应有

?2??2??2?0 （式1.3.6）

以上三个常微分方程（式1.3.5a）、（式1.3.5b）和（式1.3.5c）解的形式，与边界条件有关（即与常数?,?,?有关），以（式1.3.5a）为例说明X的形式与?的关系。

当??0时，则

2X(x)?a0x?b0

2当??0时，另??jkx,(kx为正实数），则

X(x)?a1sinkxx?a2coskxx

或

4

X(x)?b1e?jkxx?b2ejkxx

2当??0时，另??kx，则

X(x)?c1shkxx?c2chkxx

或

X(x)?d1e?kxx?d2ekxx

以上的a,b,c,d称为积分常数，也由边界条件决定。Y(y)和Z（z）的解和X（x）类似。

在用分离变量法求解静态场的边值问题时，常需要根据边界条件来确定分离常数是实数、虚数或是零。若在某一个方向（如x方向）的边界条件是周期的，则该坐标的分离常数

kx必是实数，其解要选三角函数；若在某一个方向的边界条件是非周期的，则该方向的解

要选双曲函数或者指数函数，在有限区域选双曲函数，无限区域选取指数衰减函数；若位函数与某一坐标无关，则沿该方向的分离常数为零，其解为常数。

2 例题分析

设一横截面为矩形的无限长区域的电位边值如下图2.1所示，求空间的电位分布。

y ??0 b ???0 ?n??V(y)

0 ??0 a x

图2.1 矩形截面导体槽

解：

本题的电位与z无关，只是x,y的函数，即???(x,y)。 在区域0?2??0

5

边界条件为 ①x?0,???0; ?x②x?a,?(a,y)?V(y); ③y?0,?(x,0)?0; ④y?b,?(x,b)?0. 设方程的解为

?(x,y)?X(x)Y(y)

由边界条件可得，Y（y）的表达式为

Y(y)?sinX（x）的表达式为

n?y bn?x bX(x)?ch区域内部任意一点的电位表达式为

?(x,y)??CnXn(x)Yn(y)??Cnsinn?1?n?yn?xch bb以上的电位满足拉普拉斯方程及条件①③④，待定系数由条件②决定。使用三角函数的正交归一性，即

?a?,n?msinn?xasinm?xadx? ?2?0??0,n?ma用条件②可以得出

2n?yCn?V(y)sindy

n?a?b0bchb

b3 MATLAB实现

在上题中，令V（y）=2y，设定边界，x坐标范围为[0, 16]，y坐标范围为[0, 11]。 利用PDETOOL，画出图像。

6

图3.1 二维图像

图3.2 三维图像

4 结论

静态场求解问题，也称为边值型问题，满足给定边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。数值分析法的重要的方法为有限差分法和有限单元法，将求场域的空间离散化，

7

把拉普拉斯方程化为各节点上的有限差分方程，并使用迭代法或者超松弛法求解方程，从而求解各节点上的位函数值。精读越高，求解出的各节点的位函数值越精确。

5 结束语

如今，计算机已经变成了计算各种数据的一种重要手段，而熟练掌握各种仿真软件更是必不可少的技能。在本次实现数值分析法的过程中，MATLAB使得静态场的求解变得简单、迅速、迅速。

参考文献

[1] 路宏敏, 赵永久, 朱满座. 电磁场与电磁波[M], 科学出版社 2006年9月1日 [2] 何红雨. 电磁场数值计算法及MATLAB实现[M], 华中科技大学出版社 2004年1月 [3] 黄作英，阙沛文. 基于MATLAB的的电磁场数值分析[M], 2004年

8