四川复变函数复习题三(2)

复习题三

一、 判断题（正确打?，错误打?，把判断结果填入下表。）：

1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 1、若函数f(z) 在z0连续，则f(z) 在z0解析。（）

2、若f(z)在区域D内解析,且Imf(z)在D内为常数，则在D内f(z)?C（常数）。（ ） 3、若{zn}(zn?xn?iyn)收敛，则{xn}与{yn}都收敛。( )

4、若f(z)在区域D内解析，且f'(z)?0，则f(z)?C（常数）。（ ）

5、若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（ ） 6、若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼方程。（ ） 7、若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析。（） 8、若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析。（）

9、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。（ ） 10、cos z与sin z的 基本周期均为2?。（ ）

二、 单项选择题（将选择结果填入下表。）

1 2 3 4 5

A C B A B

11、复平面上三点a?bi,0,的位置关系是：

?a?bi （A） 共线； （B） 不共线；（C） 直角三角形的顶点；（D） 等边三角形的顶点。

2、设f(z)?x2?y2?2xyi，那么(A)f(z)处处可导；(B)()f(z)处处不可导；(C)f(z)仅在原点可导；(D)f(z)仅在x轴上可导.()z1?z2?ik?;(D)z1?z2.3、若ez1?ez2，则(A)z1?z2?2k?(k为整数)；（B）z1?z2?2ik?;(C)4.函数zcos31在0?z???的洛朗展式的洛朗系数C?3,C3分别为( ). z1111(A) ?,1; (B) 0,; (C) ?,; (D) 以上答案都不对.

6!3!3!3!1Z5、函数e(A)

在点z??是(B)可去奇点;(C)一级极点;((D))二级极点.本性奇点;

1

三、填空题

1、设z?1?i,则Argz??4?2k?;k?0;?1,?2?

(1?3i)62、?____2i______。

(1?i)103、计算积分??z?2z2?3z?1dz?z?1?2?i

(?1)nz2n?14、级数?的收敛半径R?(2n?1)!n?015、Res(sin)?z?0z四、证明题

1??

.

1．证明函数f(z)?x?yx?y在除原点外的z平面上处处解析。 ?i2222x?yx?yx?yx?yy2?x2?2xy22证明 命u(x,y)?2,v(x,y)?2,当z?0即x?y?0时,ux?, 22222x?yx?y(x?y)x2?y2?2xy?x2?y2?2xyy2?x2?2xy,vx?;vy?,显然四个偏导数除原点外连续,且满足uy?(x2?y2)2(x2?y2)2(x2?y2)2C-R.方程,所以f(z)?x?yx?y除原点外处处可微,故命题得证. ?ix2?y2x2?y22、设（1）区域D是有界区域，其边界是周线或复周线C；（2）函数f1(z)及f2(z)在D内解析，在闭域D?D?C上连续；（3）沿C，f1(z)?f2(z)，试证：在整个闭域D上，f1(z)?f2(z)。 见教材p143第16题.

3、证明u?x2?y2?x为z平面上的调和函数，并求其共轭调和函数v(x,y)及解析函数.f(z)?u(x,y)?iv(x,y)使合条件f(0)?0

五、计算题

1、设w?5z确定在从原点z?0起沿负实轴割破了的z平面上，并且w??32???2（这是边界上岸点对应的函数值），试求w?1?i?的值。 解 设z?re,则w(z)?rei?5i??2k?5,z?G:??????,k?0,1,2,3,4.当z??32时,r?32,???,由

w(?32)?532ei??2k?5??2,确定k?2;当z?1?i时,r?2;????4;故w?1?i??102e??4?i45??102ei3?4.

2

2、求函数f(z)?1在z = 1处泰勒展式.

z2?2z?5111??解 2z?2z?54?(z?1)2411?z?12n??(?1)n(),(|z?1|?2) z?124n?021?()23、设g(z)??1sin??3g(0),g(),g(3)。 。求d??|?|?222?i??z1sin??31d??2?i(si0n?3)?3

2?i?|?|?2??02?i解 g(0)??1sin??31?g()?d??2?i(sin?3)?4 ?|?|?2?22?i2?i2??2g(3)?1sin??3d??0

2?i?|?|?2??3????04、计算积分?解

cos4xdx。 x2?1?????0cos4x1???cos4xe4izdx??dx,设f(z)?2,它在上半平面只有一个一阶极点z?i,且满足定理条

2???x2?1x2?1z?1???cos4xe4ize?41e?4?|z?i?dx?Re(?2?i?)?件,而Resf(z)?,所以? 2?0z?i2i22i2ex?1z?i5、计算积分I?dz??|z|?R(z?a)n(z?b)，a?b,a,b为不在圆周 |z|?R上的常数，n为正整数。要求画出图形

讨论a,b关于圆|z|?R四种位置情况.

解①a,b都在圆外时，I = 0;

② b在圆内、a在圆外时，I???|z|?R11(z?a)ndz?2?i?z?b(z?a)n?z?b2?i; n(b?a)1z?bdz?2?i?(1)(n?1)③ b在圆外、a在圆内时，I???|z|?R(z?a)n(n?1)!z?bz?a(?1)n?12?i?; n(a?b)2?i(?1)n?12?i ④a,b均在圆内时，I???0。 nn(b?a)(a?b)

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