数据库系统教程1-7章课后答案（施伯乐）（第二版）(8)

ρ=｛ R1，?，Rn ｝是R的一个分解。如果对于R的每个关系r都有mρ（r）=r，那么称 JD *（R1，?，Rn）在模式R上成立。

4.2 用A1、A2和A3三条推理规则来证明4.2.3节中的定理4.2(推理规则A4～A8)。

(1) A4（合并性，union）：｛ X→Y，X→Z ｝?X→YZ。

证明：已知X→Y，根据A2，两边用X扩充，得到X→XY。从已知X→Z，根据A2两边用Y扩充，得到XY→YZ。再根据A3，从X→XY和XY→YZ可得到X→YZ。

(2) A5（分解性，decomposition）：｛ X→Y，Z?Y ｝?X→Z。 证明：已知Z?Y，可得Y→Z。从Y→Z和已知X→Y，可得X→Z成立。 (3) A6（伪传递性）：｛ X→Y，WY→Z ｝?WX→Z。

证明：已知X→Y，根据A2，两边用W扩充，得到WX→WY。据WX→WY和已知的WY→Z，。再根据A3，可得WX→Z成立。

(4) A7（复合性，composition）：｛ X→Y，W→Z ｝?XW→YZ。

证明：已知X→Y，根据A2，两边用W扩充，得到WX→WY。从已知W→Z，根据A2两边用Y扩充，得到WY→YZ。再根据A3，从WX→WY和WY→YZ可得到XW→YZ成立。

(5) A8 ｛ X→Y，W→Z ｝?X∪（W－Y）→YZ。

证明：已知X→Y，根据A2，两边用（W-Y）扩充，得到X∪（W-Y）→Y∪（W-Y），而 Y∪（W-Y）=WY，因此有X∪（W-Y）→WY。从已知W→Z，根据A2两边用Y扩充，得到WY→YZ。再根据A3，从X∪（W-Y）→WY和WY→YZ可得到X∪（W－Y）→YZ。

4.3 对函数依赖X→Y的定义加以扩充，X和Y可以为空属性集，用φ表示，那么X→φ，φ→Y，φ→φ的含义是什么？

答：据推理规则的自反律可知，X?ф和ф?ф是平凡的FD，总是成立的。

而ф?Y表示在当前关系中，任意两个元组的Y值相等，也就是当前关系的Y值都相等。 4.4 设关系模式R有n个属性，在模式R上可能成立的函数依赖有多少个？其中平凡的FD有多少个？非平凡的FD有多少个？

１解：这个问题是排列组合问题。FD形为X?Y，从n个属性值中选择属性组成X共有C０ｎ+Cｎ

nnnnn

+ ? +Cｎ=2种方法；同理，组成Y也有2种方法。因此组成X?Y形式应该有2·2=4ｎ

种方法。即可能成立的FD有4n个。

平凡的FD要求Y?X，组合X?Y形式的选择有：

０１（C０+C１）+C２·０１２ｎ０１ｎC０ｎ·C０+Cｎ·１１ｎ（C２＋C２+C２）+ ? +Cｎ（Cｎ＋Cｎ+ ? Cｎ）

0１·21+C２·22+ ? +Cｎ·2n=（1+2）n=3n =C０·2+Cｎｎｎｎ

即平凡的FD有3n。因而非平凡的FD有4n－3n个。

4.5 已知关系模式R（ABC），F是R上成立的FD集，F=｛ A→B，B→C ｝，试写出F的闭包F+。

解：据已知条件和推理规则，可知F+有43个FD： A?ф AB?ф AC?ф ABC?ф B?ф C?ф A?A AB?A AC?A ABC?A B?B C?C

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A?B AB?B AC?B ABC?B B?C ф?ф A?C AB?C AC?C ABC?C B?BC A?AB AB?AB AC?AB ABC?AB BC?ф A?AC AB?AC AC?AC ABC?AC BC?B A?BC AB?BC AC?BC ABC?BC BC?C A?ABC AB?ABC AC?ABC ABC?ABC BC?BC 4.6 设关系模式R（ABCD），F是R上成立的FD集，F=｛ A→B，C→B ｝，则相对于F，试写出关系模式R的关键码。并说明理由。

解：R的关键码为ACD。因为从已知的F，只能推出ACD→ABCD。 4.7 设关系模式R(ABCD)上FD集为F，并且F=｛AB→C，C→D，D→A｝。 ① 试从F求出所有非平凡的FD。 ② 试求R的所有候选键。

③ 试求R的所有不是候选键的超键。

解：① 从已知的F可求出非平凡的FD有76个。

譬如，左边是C的FD有6个：C→A，C→D，C→AD，C→AC，C→CD，C→ACD。 左边是D的FD有2个：D→A，D→AD。

左边是AB的FD有12个：AB→C，AB→D，AB→CD，AB→AC，??。 感兴趣的读者可以自行把这76个FD写齐。

② 候选键是能函数决定所有属性的不含多余属性的属性集。根据这个概念可求出R的候选键有三个：AB、BC和BD。

③ R的所有不是候选键的超键有四个：ABC、ABD、BCD和ABCD。 4.8 试举出反例说明下列规则不成立：

① ｛ A→B ｝?｛ B→A ｝

② ｛ AB→C，A→C ｝?｛ B→C ｝ ③ ｛ AB→C ｝?｛ A→C ｝

答：设有三个关系：

r1 A B r2 A B C r3 A B C 1 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 2 2 1 3 4 3 2 3

（1）在关系r1中，A→B成立，但B→A不成立。

（2）在关系r2中，AB→C和A→C成立，但B→C不成立 （3）在关系r3中，AB→C成立，但A→C不成立。 4.9 设关系模式R（ABCD），F是R上成立的FD集，F=｛A→B，B→C｝，

① 试写出属性集BD的闭包(BD)+。

② 试写出所有左部是B的函数依赖（即形为“B→？”）。

+

解：①从已知的F，可推出BD→BCD，所以(BD)=BCD。

②由于B+=BC，因此左部是B的FD有四个： B→φ，B→B，B→C，B→BC。

4.10 设关系模式R(ABCDE)上FD集为F，并且F=｛A→BC，CD→E，B→D，E→A｝。 ① 试求R的候选键。 ② 试求B+的值。

解：① R的候选键有四个：A、E、CD和BC。

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② B+=BD。

4.11 设有关系模式R（ABC），其关系r如图4.1所示。 ① 试判断下列三个FD在关系r中是否成立？

A→B BC→A B→A

② 根据关系r，你能断定哪些FD在关系模式R上不成立？

A B C 1 2 3 4 2 3 5 3 3 图4.1 解：①在关系r中，A→B成立，BC→A不成立，B→A不成立。

②在关系r中，不成立的FD有:B→A，C→A，C→B，C→AB，BC→A。 4.12 设关系模式R（ABC）分解成ρ=｛ AB，BC ｝，如果R上的FD集F=｛ A→B ｝，那么这个分解是损失分解。试举出R的一个关系r，不满足mρ（r）=r。 解：这个反例r可以举测试时的初始表格： A B C AB a1 a2 b13 BC b21 a2 a3

π

AB（r）?πBC（r）有四个元组：

A B C

a1 a2 b13 a1 a2 a3 b21 a2 b13 b21 a2 a3

即mρ（r）≠r。

4.13 试解释数据库“丢失信息”与“未丢失信息”两个概念。“丢失信息”与“丢失数据”

有什么区别？

答：数据库中丢失信息是指r≠mρ（r），未丢失信息是指r=mρ（r）。 丢失信息是指不能辨别元组的真伪，而丢失数据是指丢失元组。 4.14 设关系模式R（ABC），F是R上成立的FD集，F=｛ A→C，B→C ｝，试分别求F在

模式AB和AC上的投影。

答：πAB（F）=φ（即不存在非平凡的FD） πAC（F）={ A→C } 4.15 设关系模式R（ABC），F是R上成立的FD集，F=｛ B→A，C→A ｝，ρ=｛ AB，BC ｝是R上的一个分解，那么分解ρ是否保持FD集F？并说明理由。 答：已知F={ B→A，C→A }，而πAB（F）={ B→A }，πBC（F）=φ， 显然，分解ρ丢失了FD C→A。 4.16 设关系模式R（ABC），F是R上成立的FD集，F=｛ B→C，C→A ｝，那么分解ρ=

｛ AB，AC ｝相对于F，是否无损分解和保持FD？并说明理由。 答：①已知F={ B→C，C→A }，

而πAB（F）=φ，πAC（F）={ C→A } 显然，这个分解丢失了FD B→C

② 用测试过程可以知道，ρ相对于F是损失分解。

4.17 设关系模式R(ABCDEG)上FD集为F，并且F=｛D→G，C→A，CD→E，A→B｝。 ① 求D+，C+，A+，(CD)+，(AD)+，(AC)+，(ACD)+。

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② 试求 …… 此处隐藏：4633字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……