2017初高中数学衔接教材已整理(6)

解得x1=2，x2=6．

把x1=2代入③，得y1=6．把x1=6代入③，得y2 =2．

解法2：

根据韦达定理可知，x，y是一元二次方程z2－8z＋12=0的两个根，解这个方程，得 z1=2，z2=6．

点悟：“代入法”是解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的一般方法，适用范围广；“逆用韦达定理法”虽然简便，但它只适用于以两数和与两根积的形式给出的方程组，适用范围比较小．

2、只有一个方程可分解降次的方程组的解法

例3、解方程组 分析：

观察方程②，把(x－y)看成整体，那么方程②就可以看作是关于 (x－y)的一元二次方程，且可分解为(x－y－3)(x－y＋1)=0，由此可得到两个二元一次方程x－y－3=0和x－y＋1=0． 这两个二元一次方程分别和方程①组成两个方程组：

分别解这两个方程组，就可得到原方程组的解． 解：

由②得(x－y－3)(x－y＋1)=0． ∴x－y－3=0或x－y＋1=0． ∴原方程组可化为两个方程组：

3、两个方程都可以分解降次的方程组的解法

例4、解方程组

分析： 方程①的右边为零，而左边可以因式分解，从而可达到降次的目的，方程②左边是完全平方式，右边是1，将其两边开平方，也可以达到降次的目的． 解： 由①得(x－4y)(x＋y)=0 ∴x－4y=0或x＋y=0 由②得(x＋2y)2=1

∴x＋2y=1或x＋2y=－1．

原方程可化为以下四个方程组

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点评：不要把同一个二元二次方程分解出来的两个二元一次方程组成方程组，这样会出现增解问题，同时也要注意防止漏解现象． 4、已知解的情况，确定字母系数

例5、k为何值时，方程组 (1)有一个实数解，并求出此解； (2)有两个实数解； (3)没有实数解． 分析：

所考知识点：二元二次方程组的解法及根的判别式，先用代入法消去未知数y，可得到关于x的一元二次方程，再根据根的判别式来讨论． 解：

将①代入②，整理得k2x2＋(2k－4)x＋1=0 ③ △=(2k－4)2－4×k2×1=－16(k－1)．

点悟：解这种题型的规律是一般将方程组转化为一元二次方程后，利用△=0，△＞0，△＜0来讨论的．

解题易错点是一元二次方程中x2的系数k2不等于0容易被忽略．

练习 解方程组

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22??3x?2xy?y?0（1）?；

2??(x?y)?3(x?y)?18?0

22??x?2xy?y?4（2）? 2??(x?y)?5x?5y?6

2.3.2一元二次不等式的解法

1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 2、一元二次不等式的解法步骤 一元二次不等式ax2?bx?c?0或ax2?bx?c?0?a?0?的解集：

设相应的一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的两根为x1、x2且x1?x2，??b2?4ac，则不等式的解的各种情况如下表： ??0 ??0 ??0 2 二次函数 y?ax2?bx?c y?ax2?bx?c y?ax2?bx?c y?ax2?bx?c （a?0）的图象 一元二次方程 有两相等实根 无实根 R ? ax2?bx?c?0有两相异实根 ?a?0?的根(a?0)的解集ax2?bx?c?0(a?0)的解集x1,x2(x1?x2) bx1?x2?? 2aax2?bx?c?0 ?xx?x或x?x? 12?b?xx???? 2a?? ? ?xx1?x?x2? 例1 解不等式： （1）x2＋2x－3≤0； （2）x－x2＋6＜0； （3）4x2＋4x＋1≥0； （4）x2－6x＋9≤0； （5）－4＋x－x2＜0．

例2 解关于x的不等式x?x?a(a?1)?0 解：原不等式可以化为：(x?a?1)(x?a)?0

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2

1

则x?a或x?1?a 21121若a??(a?1)即a?则(x?)?0 x?,x?R

2221

若a??(a?1)即a?则x?a或x?1?a

2

若a??(a?1)即a?

例3 已知不等式ax2?bx?c?0(a?0)的解是x?2,或x?3求不等式bx2?ax?c?0的解．

解：由不等式ax2?bx?c?0(a?0)的解为x?2,或x?3，可知

a?0，且方程ax2?bx?c?0的两根分别为2和3，

bc?6， ∴??5,aabc?6． 即 ??5,aa2由于a?0，所以不等式bx?ax?c?0可变为

b2c x?x??0 ，

aa即 －5x2?x?6?0,

整理，得

5x2?x?6?0,

所以，不等式bx2?ax?c?0的解是

6

x＜－1，或x＞ ．

5

说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．

练 习

1．解下列不等式：

（1）3x2－x－4＞0； （2）x2－x－12≤0； （3）x2＋3x－4＞0； （4）16－8x＋x2≤0．

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2.解关于x的不等式x＋2x＋1－a≤0（a为常数）．

作业：

1.若0

A.a

1 a

2.如果方程ax2＋bx＋b＝0中，a＜0，它的两根x1，x2满足x1＜x2，那么不等式ax2＋bx＋b＜0的解是______.

3．解下列不等式：

（1）3x2－2x＋1＜0； （2）3x2－4＜0；

（3）2x－x2≥－1； （4）4－x2≤0．

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1或x

a1 D.x<或x>a

a

(5)4+3x－2x2≥0; (6)9x2－12x>－4;

4．解关于x的不等式x2－(1＋a)x＋a＜0（a为常数）．

5．关于x的不等式ax2?bx?c?0的解为x??2或x??求关于x的不等式ax2?bx?c?0的解．

1 2

3．1 相似形

3.1.1．平行线分线段成比例定理

在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.

在一张方格纸上，我们作平行线l1,l2,l3（如图3.1-1），直线a交l1,l2,l3于点A,B,C，AB?2,BC?3，另作直线b交l1,l2,l3于点A',B',C'，不难发现

A'B'AB2??. B'C'BC3我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图3.1-2，l1//l2//l3，有得出

ABDE=.当然，也可以BCEFABDE?.在运用该定理解决问题的过程中，我们ACDF图3.1-1

一定要注意线段之间

的对应关系，是“对应”线段成比例. 例1 如图3.1-2， l1//l2//l3， 且AB=2,BC=3,DF=4,求DE,EF. 解 Ql1//l2//l3\\,ABDE2== ,BCEF328312DE?DF?,EF?DF?.

2?352?35图3.1-2

例2 在ABC中，D,E为边AB,AC上的点，DE//BC，

ADAEDE??. ABACBC证明（1） DE//BC,??ADE??ABC,?AED??ACB,

ADAEDE?ADE∽ABC，???.

ABACBC证明（2） 如图3.1-3，过A作直线l//BC， l//DE//BC,

求证：

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