1第一章 随机事件与概率(7)

AB1,AB2,AB3两两互不相容，所以，由概率的有限可加性

P(A)?P(AB1?AB2?AB3)?P(AB1)?P(AB2)?P(AB3)

?P(B1)P(AB1)?P(B2)P(AB2)?P(B3)P(AB3)

?0.15?0.02?0.80?0.01?0.05?0.03?0.0125.

这里，我们将复杂事件A分解成简单（其概率易求之事件）之事件的和，再结合概率计算的有限可加性及乘法定理，即得所求概率.这就是全概率公式的一个应用，为了导出一般公式，首先引入样本空间的划分的概念.

定义1.6.1 如果n个事件B1,?,Bn满足下列两个条件： (1) B1,?,Bn是两两互不相容； (2) B1???Bn??，

那么，我们称这n个事件B1,?,Bn构成样本空间?的一个划分(或构成一个完备事件组).

若B1,?,Bn是样本空间的一个划分，那么，对每次试验，事件B1,?,Bn中必有一个且仅有一个发生.

在上例中，因为任取的一件产品只能是三家工厂中的一家生产，所以B1,B2,B3构成了这个问题的一个完备事件组，即

BiBj??(i?j)，且B1?B2?B3??

定理1.6.1 设n个事件B1,?,Bn为样本空间?的一个划分，且

P(Bi)?0(i?1,2,?n)，则对任一个事件A，

P(A)?P(AB1)P(B1)?P(AB2)P(B2)???P(ABn)P(Bn)，

称这一公式为全概率公式.

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证明 如图所示

因为A?A??A(B1?B2???Bn)?AB1?AB2???ABn，由假设

(ABi)(ABj)??(i?j)，且P(Bi)?0(i?1,2,?n)，所以

P(A)?P(AB1)?P(AB2)???P(ABn)

?P(AB1)PB(1?)PA(B2P)B(2??)?PAB(nPB)n ()利用此公式计算的关键是首先找出样本空间的一个划分，这要视具体情况分析.通常我们将B1,?,Bn看作是事件A发生的原因，并且公式中的一些事件的概率和条件概率能从题设中找到或求出.

例1.6.2 甲文具盒内有2支兰色笔和3支黑色笔，乙文具盒内也有2支兰色笔和3支黑色笔，现从甲文具盒中任取2支笔放入乙文具盒，然后再从乙文具盒中任取2支笔，求最后取出的2支笔都是黑色笔的概率.

解 设Bi?“从甲文具盒中取出i支黑色笔放入乙文具盒”，i?0,1,2，

A?“最后取出的2支笔都是黑色笔”. 则

201102C2C3C2C3C2C3163 ， P(B0)??,P(B)??,P(B)??12222101010C5C5C5020202C4C3C3C4C2C51036 ， P(AB0)?,P(AB)??,P(AB)??13222212121C7C7C7所以

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P(A)??P(Bi)P(ABi)i?021366310????? 10211021102123 ?.70 ?例1.5.10中，若已知取到的是次品，想知道此次品出自何厂，需进一步求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少?

解 显然，这是一个条件概率问题，即要求P(BiA),i?1,2,3，利用条件概率的计算公式，不难得知:

P(B1A)?P(AB1)P(B1)P(AB1)?3P(A)?P(ABi)P(Bi)i?1

?同理可算得

0.02?0.15?0.24.0.0125P(B2A)?0.64， P(B3A)?0.12.

以上结果表明，这只次品极有可能是来自第2家工厂的.

定理1.6.2 设n个事件B1,?,Bn为样本空间?的一个划分，且

P(Bi)?0(i?1,2,?n)，则对任一个事件A，

P(BiA)?P(ABi)P(Bi) (i?1,2,?n),

j?P(AB)P(B)jj?1n这个公式称为贝叶斯公式.

贝叶斯公式在概率论与数理统计中有着广泛的应用.通常P(Bi)称为先验概率，它反映了各种“原因”发生可能性的大小，往往是根据以往经验，在试验前已

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确定.而条件概率P(BiA)称为后验概率，它反映了试验后对各种“原因”发生可能性大小的新见解.利用贝叶斯公式可以由“结果”A的发生来分析导致这一结果的各种“原因”Bi发生的可能性大小，即已知“结果”找“原因”.

例1.6.3 一位具有症状S的病人前来医院就诊，他可能患有疾病d1,d2,d3,d4中的一种根据历史资料，该地区患疾病d1,d2,d3,d4的概率分别为又由以往的病历记录知道，当病人患有疾病d1,d2,d3,d4时，0.42,0.20,0.26,0.12，

出现症状S的概率分别为0.90,0.72,0.54,0.30，问：该病人患d3疾病的概率是多少？

解 设A?“患者出现症状S”， Bi?“病人患有di种疾病”，i?1,2,3,4 则

P(B1)?0.42, P(B2)?0.20, P(B3)?0.26, P(B4)?0.12

P(AB1)?0.90, P(AB2)?0.72, P(AB3)?0.54, P(AB4)?0.30.

所以由贝叶斯公式得

P(B3A)?P(B3)P(AB3)?P(B)P(AB)iii?14

?0.26?0.54 0.42?0.90?0.20?0.72?0.26?0.54?0.12?0.30 ?0.2010.

同时，我们还可以计算出当病人出现症状S时患有疾病d1,d2,d4的概率，从而合理地判断病人该患哪一种疾病.

例1.6.4 设甲，乙，丙三导弹向同一敌机射击，甲，乙，丙击中敌机的概率分别为0.4,0.5,0.7.如只有一弹击中，飞机坠毁的概率为0.2；如而弹击中，飞机

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坠毁的概率为0.6；如三弹击中，飞机坠毁的概率为0.9. (1) 求飞机坠毁的概率；

(2) 如已知飞机坠毁，求是二弹击中的概率.

解 设Bi?“恰有i弹击中飞机”(i?0,1,2,3)，A?“飞机坠毁”，由于甲，乙，丙三弹是否击中飞机是相互独立的，则

P(B0)?(1?0.4)(1?0.5)(1?0.7)?0.09，

P(B1)?0.4?(1?0.5)(1?0.7)?(1?0.4)?0.5?(1?0.7)?(1?0.4)(1?0.5)?0.7?0.36，

P(B2)?0.4?0.5?(1?0.7)?(1?0.4)?0.5?0.7?0.4?(1?0.5)?0.7?0.41，

P(B3)?0.4?0.5?0.7?0.14，

由条件，有

P(AB0)?0， P(AB1)?0.2， P(AB2)?0.6， P(AB3)?0.9.

(1) 由题意有

P(A)??P(Bi)P(ABi)

i?03 ?0.09?0?0.36?0.2?0.41?0.6?0.14?0.9

?0.444.

(2) 由贝叶斯公式推得

P(B2A)?P(B2)P(AB2)P(A)?0.41?0.6?0.554

0.444这是独立性、全概率公式、贝叶斯公式的综合应用.

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