1第一章 随机事件与概率(4)

德?摩根 蒲丰 K·皮尔逊 K·皮尔逊

2048 4040 12000 24000 1061 2048 6019 12012 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 这些试验的结果是很有启发性的.虽然事件在一次试验中可能发生也可能不发生，但在大量重复试验中，它出现的频率却非常稳定，而且次数越多，频率越接近于0.5.

虽然在一次试验或观察中某一个随机事件A是否发生是偶然的，但当试验次数

n很大时， 事件A出现的频率总在某个固定常数p附近摆动，而且一般来说，n越大，摆动的幅度越小，则称p为随机事件A的概率. 这一规律称为频率的稳定性，即前面讲的统计规律性.同时也给出了概率的统计定义.频率与概率的上述关系有时还提供了求某事件概率的一种方法，即当n足够大时，用它的频率来作为概率的近似值.

频率的稳定性说明随机事件发生的可能性大小是随机事件本身固有的、不随人们意志而改变的一种客观属性，可以对它进行度量，这正是概率论得以建立的现实基础.从上述可见，频率和概率既有本质区别，又有十分密切的联系.

§1.4 概率的公理化定义与性质

一.概率的公理化定义

关于随机事件的概率问题，目前，只讨论了一种最简单的模型：古典概型和几

何概型，它们都是通过某种等可能性来定义概率的，而在一般情况下却没有这种等可能性，因此带有一定的局限性.尽管前面给出的概率的统计定义很一般且很直观，

16

但它涉及到频率的稳定性，利用概率的统计定义来计算概率，要涉及到大量的重复试验，这是不现实的，而且频率是变化的，在这些波动的数值中，无法确定哪一个为概率值.于是产生了对一般随机现象明确定义概率的问题.

但无论是频率还是古典概率或几何概率都具有下列三条性质： (1) 非负性 对任何事件A,P(A)?0； (2) 规范性 P(?)?1；

(3) 可加性 当事件A,B互不相容：P(A?B)?P(A)?P(B).

对于可加性，不难用数学归纳法证明：任意有限个两两互不相容的事件

A1,A2?,An，有P(?Ai)??P(Ai)．而在几何概率中，还要求它对可列个两

i?1i?1nn两互不相容事件之和有可加性，即可列可加性．

于是以这些性质为基础，抽象出近代概率论的公理化定义．

概率的公理化定义 给定一个随机试验，?是它的样本空间，对于任意一个事件A，规定一个实数，记作P(A)．如果P(?)满足下列三条公理，那么就称P(A)为事件A的概率．

公理1 非负性：对于任意一个事件A，P(A)?0； 公理2 规范性：P(?)?1；

公理3 可列可加性： 当可列无限个事件A1,A2?,An,?两两互不相容时：

P(A1?A2??)?P(A1)?P(A2)??.

利用公理化定义可以导出概率的其它性质： 性质（i） P(?)?0.

17

证明 令An??(n?1, 2, ?)，则由概率的可列可加性得

?An?1?n且AiAj??(i?j), i, j?1, 2, ?.??，

P(?)?P(?An)??P(An)??P(?).

n?1n?1n?1???由概率的非负性知,P(?)?0,故由上式知P(?)?0.

性质(ii) 有限可加性 若A1,A2,?,An两两互不相容，即AiAj??(i?j)，则

P(A1?A2???An)?P(A1)?P(A2)??P(An). 这一性质的证明可以用数学归纳法，证明略. 性质(iii) 对任何事件A，有

P(A)?1?P(A).

证明 因为A?A??,AA??，可知 1?P(?)?P(A)?P(A)， 由此即得结论.此式虽然简单，却很有用.

例1.4.1 袋中有8个黑球和10个白球，大小、形状和重量都一样，从中任意地摸出4球，求至少有一个黑球的概率.

i8?iC8C10解法1 设Ai为“恰有i个黑球”，P(Ai)?，i?1,2,?8. 4C18A为“至少有一个黑球”，则

P(A)??P(Ai) （因A1,?A8两两互不相容）

i?18?95. 102解法2 设A为“摸出的4个球全是白球”， 则

18

4C10957，所以，P(A)?1?P(A)?. P(A)?4?102C18102显然，解法2要简单得多，如果直接计算A的概率，须将它分解成A1,?A8的概率之和，计算量较大.由此可知，P(A),P(A)中只要知道了一个，另一个就很容易算得，对于这类问题，常用此法，后面还将有更好的应用.

性质（iv） 若A?B，则 P(A?B)?P(A)?P(B). 证明 因为A?B，有A?(A?B)?B，且(A?B)B??，故

P(A)?P(A?B)?P(B),

所以 P(A?B)?P(A)?P(B)

又由概率的非负性，可知P(A)?P(B)，反知不成立； 推论 任意事件A，有P(A)?1.

下面我们给出关于事件的并概率计算的一般公式：

性质（v）（加法公式） P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB). 证明 因为A?B?A?(B?AB)，且A?(B?AB)??，所以

P(A?B)?P(A)?P(B?AB).

又AB?B，由性质（iv），P(B?AB)?P(B)?P(AB)，代入上式即得

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB).

加法公式还可以推广到多个事件的和上去.以任意三个事件A,B,C为例 ：

P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(CA)?P(ABC).

19

灵活运用概率的性质有助于计算较复杂事件的概率，必须熟练掌握. 例1.4.2 设A,B为随机事件，P(A)?0.7,P(A?B)?0.3,求P(A?B). 解 因为 P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)，只须求出P(AB)即可. 又P(A?B)?0.3， 联想到A?B?A?AB,A?AB，于是

P(A?B)?P(A)?P(AB)，P(AB)?0.7?0.3?0.4.

因此， P(A?B)?0.6.

例1.4.3 从0,1,2,?9十个数字中任选三个不同的数字，试求下列事件的概率: (1) A?“三个数字中不含0和5”； (2) B?“三个数字中不含0或5”；

解 设A1=“三个数字中不含0”； A2?“三个数字中不含5”. 则有

A?A1?A2,B?A1?A2，且可由古典概型直接计算得

33C9C877P(A1)?P(A2)?3?, P(A)?3? .

C1010C1015于是，由加法公式得

P(B)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)?7774???10101515.

§1.5 条件概率与随机事件的独立性

一、 条件概率

在讨论事件的概率时，经常会遇到这样的情况，即已知某一事件B已发生，要

20