2012届高三数学一轮复习第十章统计与概率10-9(2)

5

概率为.现甲、乙两人从袋中轮流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取?，每次取1个球，

12取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．

(1)袋中原有白球的个数为________． (2)随机变量X的数学期望E(X)＝________. 10

[答案] (1)6 (2)

7

Cn25

[解析] (1)设袋中原有n个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为2＝，

C912n?n－1?25即＝，化简得n2－n－30＝0.

129×82解得n＝6或n＝－5(舍去)． 故袋中原有白球的个数为6. (2)由题意，X的可能取值为1,2,3,4. 62

P(X＝1)＝＝；

933×61

P(X＝2)＝＝；

9×843×2×61

P(X＝3)＝＝；

9×8×7143×2×1×61

P(X＝4)＝＝.

9×8×7×684所以X的概率分布列为：

X P 1 2 32 1 43 1 144 1 84211110所求数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.

3414847

14．(2010·广东高考调研)如果随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝4，且D(ξ)＝2，则E(pξ－D(ξ))＝________.

[答案] 0

[解析] ∵ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝4，∴np＝4， 1

又∵D(ξ)＝2，∴np(1－p)＝2，∴p＝，

211

∴E(pξ－D(ξ))＝E(ξ－2)＝E(ξ)－2＝0.

22三、解答题

15．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课程互不影响，已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．

(1)记“函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望．

[解析] 设该学生选修甲、乙、丙的概率分别是x，y，z， x?1－y??1－z?＝0.08??

由题意有?xy?1－z?＝0.12

??1－?1－x??1－y??1－z?＝0.88x＝0.4??

解得?y＝0.6

??z＝0.5

，

.

(1)∵函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数，∴ξ＝0. ξ＝0表示该学生选修三门功课或三门功课都没选． ∴P(A)＝P(ξ＝0)＝xyz＋(1－x)(1－y)(1－z) ＝0.4×0.6×0.5＋0.12＝0.24. (2)依题意ξ＝0,2，则ξ的分布列为

ξ P ∴E(ξ)＝0×0.24＋2×0.76＝1.52. 16．(2010·新乡市调研)高二下学期，学校计划为同学们提供A、B、C、D四门方向不同的数学选修课，现在甲、乙、丙三位同学要从中任选一门学习(受条件限制，不允许多选，也不允许不选)．

(1)求3位同学中，选择3门不同方向选修的概率； (2)求恰有2门选修没有被3位同学选中的概率；

(3)求3位同学中，选择选修课程A的人数ξ的分布列与数学期望．

A433[解析] (1)设3位同学中，从4门课中选3门课选修为事件M，则P(M)＝3＝. 48(2)设3位同学中，从4门课中选3门课选修，恰有2门没有选中为事件N，则P(N)＝C42C32A229

＝. 4316

(3)由题意，ξ的取值为0、1、2、3.

C31×3×3273327

则P(ξ＝0)＝3＝，P(ξ＝1)＝＝，

4644364C32×3911

P(ξ＝2)＝3＝，P(ξ＝3)＝3＝. 464464

0 0.24 2 0.76 ∴ξ的分布列为

ξ P 0 27 641 27 642 9 643 1 642727913∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 646464644

17．设两球队A、B进行友谊比赛，在每局比赛中A队获胜的概率都是p(0≤p≤1)． 2

(1)若比赛6局，且p＝，求其中A队至多获胜4局的概率是多少？

3(2)若比赛6局，求A队恰好获胜3局的概率的最大值是多少？

(3)若采用“五局三胜”制，求A队获胜时的比赛局数ξ的分布列和数学期望． [解析] (1)设“比赛6局，A队至多获胜4局”为事件A， 则P(A)＝1－[P6(5)＋P6(6)]

222564735?2?5?1－?＋C66??6?＝1－＝. ＝1－?C63????3??3??729729473

∴A队至多获胜4局的概率为.

729

(2)设“若比赛6局，A队恰好获胜3局”为事件B，则P(B)＝C63p3(1－p)3. 当p＝0或p＝1时，显然有P(B)＝0.

??当0

1

当且仅当p＝1－p，即p＝时取等号．

25

故A队恰好获胜3局的概率的最大值是. 16

p＋1－p?2?3?1?6＝5 ＝20·?2?16??2??

(3)若采用“五局三胜”制，A队获胜时的比赛局数ξ＝3,4,5. P(ξ＝3)＝p3，

P(ξ＝4)＝C32p3(1－p)＝3p3(1－p) P(ξ＝5)＝C42p3(1－p)2＝6p3(1－p)2， 所以ξ的分布列为：

ξ P 3 p3 4 3p3(1－p) 5 6p3(1－p)2 E(ξ)＝3p3(10p2－24p＋15)． [点评] 本题第(3)问容易出错，“五局三胜制”不一定比满五局，不是“五局中胜三局”．A队获胜包括：比赛三局，A队全胜；比赛四局，A队前三局中胜两局，第四局胜；比赛五局，前四局中胜两局，第五局胜，共三种情况．