[数学]2012新题分类汇编：解析几何（高考真题+模拟新题）(8)

由题意得x3＝－(x1＋x2)＝－所以点P的坐标为?－2，y3＝－(y1＋y2)＝－1. 2

?

2?，－1. 2?

2

2??2y经验证，点P的坐标－，－1满足方程x＋＝1，故点P在椭圆C上．

2?2?

(2)证明：由P?－?

2??2，1?，PQ的垂直平分线l的方程为y＝－2

，－1和题设知Q1

22??2?

x.①

设AB的中点为M，则M?2121?，，AB的垂直平分线l2的方程为y＝2x＋4.② ?42?

由①、②得l1、l2的交点为N?－?

21?，. 88?|NP|＝

?－2＋2?2＋?－1－1?2＝311，

8?88???2

32， 2

|AB|＝1＋?－2?2·|x2－x1|＝|AM|＝

32

， 4

|MN|＝?2＋2?2＋?1－1?2＝33，

88??28??4

311， 8

|NA|＝|AM|2＋|MN|2＝故|NP|＝|NA|.

又|NP|＝|NQ|，|NA|＝|NB|， 所以|NA|＝|NP|＝|NB|＝|NQ|，

由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上．

y2

大纲文数22.H8，H10[2011·全国卷] 已知O为坐标原点，F为椭圆C：x＋＝1在y

2

2

轴正半轴上的焦点，过F且

图1－4

→→→

斜率为－2的直线l与C交于A、B两点，点P满足OA＋OB＋OP＝0.

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(1)证明：点P在C上；

(2)设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上． 大纲文数22.H8，H10[2011·全国卷]

y2

【解答】 (1)证明：F(0,1)，l的方程为y＝－2x＋1，代入x＋＝1并化简得

2

2

4x2－22x－1＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)， 则x1＝x1＋x2＝

2－62＋6

，x2＝， 44

2

，y1＋y2＝－2(x1＋x2)＋2＝1， 2

2

，y3＝－(y1＋y2)＝－1. 2

由题意得x3＝－(x1＋x2)＝－所以点P的坐标为?－?

2?，－1. 2?

2

2??2y经验证，点P的坐标－，－1满足方程x＋＝1，故点P在椭圆C上．

2?2?

(2)证明：由P?－?

2??2，1?，PQ的垂直平分线l的方程为y＝－2

，－1和题设知Q1

22??2?

x.①

设AB的中点为M，则M?2121?，，AB的垂直平分线l2的方程为y＝2x＋4.② ?42?由①、②得l1、l2的交点为N?－?

21?，. 88?|NP|＝

?－2＋2?2＋?－1－1?2＝311，

8?88???2

32， 2

|AB|＝1＋?－2?2·|x2－x1|＝|AM|＝

32

， 4

|MN|＝?2＋2?2＋?1－1?2＝33，

88??28??4

311， 8

|NA|＝|AM|2＋|MN|2＝故|NP|＝|NA|.

又|NP|＝|NQ|，|NA|＝|NB|， 所以|NA|＝|NP|＝|NB|＝|NQ|，

由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上．

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1

课标理数21.B9，H8[2011·广东卷] 在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L：y＝x2，

4实数p，q满足p2－4q≥0，x1，x2是方程x2－px＋q＝0的两根，记φ(p，q)＝max{|x1|，|x2|}．

1?

p0，p2(1)过点A?40?(p0≠0)作L的切线交y轴于点B.证明：对线段AB上的任一点Q(p，?|p0|

q)，有φ(p，q)＝；

2

(2)设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2－4b>0，a≠0.过M(a，b)作L的两条切线l1，1?12??p1，p2l2，切点分别为E?1，E′p2，p2，l1，l2与y轴分别交于F、F′.线段EF上异于两4?4???|p1|

端点的点集记为X.证明：M(a，b)∈X?|p1|>|p2|?φ(a，b)＝；

2

?125????y≤x－1，y≥(3)设D＝?x，y??4?x＋1?－4?.当点(p，q)取遍D时，求φ(p，q)的最小?

值(记为φmin)和最大值(记为φmax)．

11

课标理数21.B9，H8[2011·广东卷] 【解答】 (1)证明：切线l的方程为y＝p0x－p2.

240|p|＋p2－4q|p|＋?p－p0?2?Q(p，q)∈AB有φ(p，q)＝＝. 22p＋p0－pp0|p0|

当p0>0时，0≤p≤p0，于是φ(p，q)＝＝＝；

222－p＋p－p0－p0|p0|

当p0<0时，p0≤p≤0，于是φ(p，q)＝＝＝. 22211112

(2)l1，l2的方程分别为y＝p1x－p21，y＝p2x－p2. 2424求得l1，l2交点M(a，b)的坐标?

p1＋p2p1p2?

?2，4?.

由于a2－4b>0，a≠0，故有|p1|≠|p2| . ①先证：M(a，b)∈X?|p1|>|p2|. (?)设M(a，b)∈X.

p1＋p2

当p1>0时，0<

2|p1|>|p2|；

p1＋p2

当p1<0时，p1<<0?2p1

2|p1|>|p2|.

p2?p1＋p2p2(?)设|p1|>|p2|，则?<1?－1<<1?0<<2. ?p1?p1p1p1＋p2当p1>0时，0<

2

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p1＋p2p1<<0，

2

注意到M(a，b)在l1上，故M(a，b)∈X. |p1|

②次证：M(a，b)∈X?φ(a，b)＝. 2

|p1|

(?)已知M(a，b)∈X，利用(1)有φ(a，b)＝. 2|p1|

(?)设φ(a，b)＝，断言必有|p1|>|p2|.

2

若不然，|p1|<|p2|.令Y是l2上线段E′F′上异于两端点的点的集合，由已证的等价式①M(a，b)∈Y.再由(1)得φ(a，b)＝X.

|p1|

综上，M(a，b)∈X?|p1|>|p2|?φ(a，b)＝.

2

15

(3)求得y＝x－1和y＝(x＋1)2－的交点Q1(0，－1)，Q2(2,1)．而y＝x－1是L的切点

44为Q2(2,1)的切线，且与y轴交于Q1(0，－1)，由(1)?Q(p，q)∈线段Q1Q2，有φ(p，q)＝1.

1515

当Q(p，q)∈L1：y＝(x＋1)2－(0≤x≤2)时，q＝(p＋1)2－，∴h(p)＝φ(p，q)＝

4444p＋p2－4qp＋4－2p4－2p－13

＝(0≤p≤2)，在(0,2)上，令h′(p)＝＝0得p＝，由于h(0)22224－2p3?5＝h(2)＝1，h??2?＝4，

5

∴h(p)＝φ(p，q)在[0,2]上取得最大值hmax＝.

415

?(p，q)∈D，有0≤p≤2，(p＋1)2－≤q≤p－1，

44p＋p2－4q

故φ(p，q)＝≤

2p＋15?p＋1?2－?p2－4?4??4

2

|p2||p1|

≠，矛盾．故必有|p1|>|p2|.再由等价式①，M(a，b)∈22

＝

p＋4－2p5

≤hmax＝， 24

p＋p2－4qp＋p2－4?p－1?p＋?p－2?2p＋2－p

φ(p，q)＝≥＝＝＝1，

22225

故φmin＝1，φmax＝.

4

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x2y2

课标理数21.H5，H7，H8[2011·湖南卷] 如图1－9，椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)的离心

ab率为

3

，x轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的长半轴长． 2

(1)求C1，C2的方程；

(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.

①证明：MD⊥ME；

S117

②记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2.问：是否存在直线l，使得＝？请说明理

S232由．

图1－10

c3

课标理数21.H5，H7，H8[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由题意知，e＝＝，从而a＝

a22b.又2b＝a，解得a＝2，b＝1.

x22

故C1，C2的方程分别为＋y＝1，y＝x2－1.

4

(2)①由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝kx.

??y＝kx，由?得x2－kx－1＝0. 2

?y＝x－1?

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1，x2是上述方程的两个实根， 于是x1＋x2＝k，x1x2＝－1. 又点M的坐标为(0，－1)，所以 kMA·kMB＝

y1＋1y2＋1?kx1＋1?? …… 此处隐藏：1656字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……