2017-2018版高中数学 第一章 常用逻辑用语 2 充分条件与必要条件

2 充分条件与必要条件

学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.

知识点一 充分条件与必要条件

“若p，则q”形式的命题为真命题是指：由条件p可以得到结论q，通常记作：p?q，读作“p推出q”.此时我们称p是q的________条件，同时，我们称q是p的______条件. 若p?q，但q?p，称p是q的__________条件，若q?p，但p?q，称p是q的________条件.

知识点二 充要条件

思考 在△ABC中，角A、B、C为它的三个内角，则“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？

梳理 (1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q，此时，我们说，p是q的__________条件，简称充要条件.

(2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p?q，那么p与q互为充要条件. (3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.

若A?B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件 若B?A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件 若A＝B，则p，q互为充要条件 若A?B且B?A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.

类型一 判断充分条件、必要条件、充要条件 命题角度1 在常见数学问题中的判断 例1 下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：a＋b＝0，q：a＋b＝0；

(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形； (3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1； (4)p：m<－1，q：x－x－m＝0无实根；

(5)p：ab≠0，q：直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交.

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反思与感悟 判断充分条件和必要条件的方法：(1)定义法；(2)等价命题法，原命题与其逆否命题是“同真同假”的等价命题，这一点在充要条件的判断中经常用到；(3)集合法，P是

Q的充分不必要条件?集合PQ，P是Q的必要不充分条件?集合PQ，P是Q的充要条件

?集合P＝Q，P是Q的既不充分也不必要条件?集合P?Q，且P?Q；(4)传递法，对于较复杂的关系，常用?，?，?等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度. 跟踪训练1 指出下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：ax＋ax＋1>0的解集是R，q：0

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<－1； x－5

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(3)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；

??α>2，(4)p：?

?β>2，?

??α＋β>4，

q：?

?αβ>4.?

命题角度2 在实际问题中的判断

例2 如图所示的电路图中，“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件？

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反思与感悟 “充分”的含义是“有它即可”，“必要”的含义是“无它不可”.用日常生活中的现象来说明“条件”和“结论”之间的关系，更容易理解和接受.用“条件”和“结论”之间的关系来解释生活中的现象，更加明白、透彻.

跟踪训练2 俗语云“好人有好报”，“好人”是“有好报”的( ) A.充分条件

C.既不充分又不必要条件 类型二 充要条件的探求与证明 命题角度1 充要条件的探求

例3 求ax＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？

反思与感悟 探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件?结论”和“结论?条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件.

跟踪训练3 已知数列{an}的前n项和Sn＝(n＋1)＋t(t为常数)，试问t＝－1是否为数列{an}是等差数列的充要条件？请说明理由.

命题角度2 充要条件的证明

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B.必要条件 D.无法判断

例4 已知A，B是直线l上的任意两点，O是直线l外一点，求证：点P在直线l上的充要→→→

条件是OP＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，且x＋y＝1.

反思与感悟 证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”?“结论”，必要性需要证明“结论”?“条件”.

跟踪训练4 已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a＋b＋ab－a－b＝0的充要条件.

类型三 利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围) 例5 已知函数f(x)＝3－

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x＋－x的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－

x)](a<1)的定义域为B.

(1)求A；

(2)记p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

反思与感悟 在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p和q转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围. 根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤： (1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；

(2)若p是q的充分不必要条件，则MN，若p是q的必要不充分条件，则NM，若p是q的充要条件，则M＝N；

(3)根据集合的关系列不等式(组)； (4)求出参数的范围.

21跟踪训练5 设A＝{y|y＝x，x∈R}，B＝{y|y＝x＋m，x∈[－1,1]}，记命题p：“y∈A”，

2＋13命题q：“y∈B”，若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围为______________.

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x

1.人们常说“无功不受禄”，这句话表明“受禄”是“有功”的( ) A.充分条件 C.充要条件

2.设命题p：x－3x＋2<0，q：A.充分不必要条件 C.充要条件

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B.必要条件

D.既不充分又不必要条件

x－1

≤0，则p是q的( ) x－2

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

3.“x－4x－5＝0”是“x＝5”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件

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B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

4.记不等式x＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________.

5.“a＝0”是“直线l1：x－2ay－1＝0与l2：2x－2ay－1＝0平行”的________条件.

充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件反映了条件p和结论

q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：

(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p?q”及“q?p”的真假，根据定义下结论. (2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题.

(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断. 提醒：完成作业 第一章 §2

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