【备考2014】2013高考数学 (真题+模拟新题分类汇编) 解析几何 文

- 1 - 解析几何

H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

21．B12，H1[20132新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x 2e －x .

(1)求f(x)的极小值和极大值；

(2)当曲线y ＝f(x)的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．

21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．

f ′(x)＝－e －x x(x －2)．①

当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0；

当x∈(0，2)时，f′(x)>0.

所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0，2)单调递增．

故当x ＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；当x ＝2时，f(x)取得极大值，极大

值为f(2)＝4e －2.

(2)设切点为(t ，f(t))，则l 的方程为

y ＝f′(t)(x－t)＋f(t)．

所以l 在x 轴上的截距为

m(t)＝t －f （t ）f′（t ）＝t ＋t t －2＝t －2＋2t －2

＋3. 由已知和①得t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．

令h(x)＝x ＋2x

(x≠0)，则当x∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[2 2，＋∞)；当x∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．

所以当t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[2 2＋3，＋∞)． 综上，l 在x 轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[2 2＋3，＋∞)．

5．H1，H4[20132天津卷] 已知过点P(2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线

ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )

A ．－12

B ．1

C ．2 D.12

5．C [解析] 设过点P(2，2)的圆的切线方程为y －2＝k(x －2)，由题意得

|k －2|1＋k 2＝5，解之得k ＝－12

.又∵切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，∴a＝2. 15．H1，C8，E8[20132四川卷] 在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，

6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．

15．(2，4) [解析] 在以A ，B ，C ，D 为顶点构成的四边形中，由平面几何知识：三角形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线AC ，BD 交点上时，到四个顶点的距离之和最小．AC 所在直线方程为y ＝2x ，BD 所在直线方程为y ＝－x ＋6，交点坐标为(2，

4)，即为所求．

- 2 - H2 两直线的位置关系与点到直线的距离

20．H2，H4[20132新课标全国卷Ⅱ] 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为2 2，在y 轴上截得线段长为2 3.

(1)求圆心P 的轨迹方程；

(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22

，求圆P 的方程． 20．解：(1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r.

由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.从而y 2＋2＝x 2＋3.

故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.

(2)设P(x 0，y 0)，由已知得 |x 0－y 0|2

＝22. 又P 点在双曲线y 2－x 2

＝1上，从而得?????|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1. 由?????x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得?

????x 0＝0，y 0＝－1. 此时，圆P 的半径r ＝ 3.

由?????x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得?

????x 0＝0，y 0＝1， 此时，圆P 的半径r ＝ 3.

故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.

4．H2、H3和H4[20132重庆卷] 设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝

－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )

A ．6

B ．4

C ．3

D ．2

4．B [解析] |PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d ＝3－(－3)－2＝4.

H3 圆的方程

14．H3[20132江西卷] 若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．

14．(x －2)2＋? ????y ＋322

＝254 [解析] r 2＝4＋(r －1)2，得r ＝52，圆心为? ????2，－32.故圆C 的方程是(x －2)2＋? ????y ＋322

＝254.

- 3 - 21．F2、F3、H3、H5和H8[20132重庆卷] 如图1－5所示，椭圆的中心为原点O ，长轴

在x 轴上，离心率e ＝

22

，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；

(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．

图1－5

21．解：(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a 2＋22

b 2＝1，从而e 2＋4b

2＝1. 由e ＝22得b 2＝41－e ＝8，从而a 2＝b 21－e

＝16. 故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28

＝1. (2)由椭圆的对称性，可设Q(x 0，0)，又设M(x ，y)是椭圆上任意一点，则 |QM|2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 2

0＋8? ????1－x 2

16 ＝12

(x －2x 0)2－x 20＋8(x∈[－4，4])． 设P(x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，

又因为x 1∈(－4，4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，所以x 1＝2x 0，且|QP|2＝8－x 20.

由对称性知P′(x 1，－y 1)，故|PP′|＝|2y 1|，所以

S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12

32 8? ????1－x 2116|x 0|＝ 2（4－x 20）x 20＝2－（x 20－2）2＋4.

当x 0＝±2时，△PP′Q 的面积S 取到最大值2 2.

此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q(±2，0)，半径|QP|＝8－x 20＝6，因此，这样的圆有

两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.

4．H2、H3和H4[20132重庆卷] 设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝

－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )

A ．6

B ．4

C ．3

D ．2

4．B [解析] |PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d ＝3－(－3)－2＝4.

H4 直线与圆、圆与圆的位置关系

6．H4[20132安徽卷] 直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为

( )

- 4 - A ．1 B ．2 C ．4 D ．4 6

6．C [解析] 圆的标准方程是(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心(1，2)到直线x ＋2y －5＋5＝

0的距离d ＝1，所以直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0所截得的弦长l ＝2r 2－d

2＝4.

7．H4[20132广东卷] 垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第Ⅰ象限的直线方程

是( )

A ．x ＋y －2＝0

B ．x ＋y ＋1＝0

C ．x ＋y －1＝0

D ．x ＋y ＋2＝0

7．A [解析] 设直线方程为y ＝－x ＋m ，且原点到此直线的距离是1，即1＝

m 2，解得m

＝± 2.当m ＝－2时，直线和圆切于第Ⅲ象限，故舍去，选A.

14．H4[20132湖北卷] 已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1? ????0＜θ＜π2.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________．

14．4 [解析] 圆心到直线的距离d ＝1，r ＝5，r －d>d ，所以圆O 上共有4个点到直线的距离为1，k ＝4.

10．H4[20132江西卷] 如图1－3所示，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m …… 此处隐藏：18338字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……