新版高中数学北师大版必修5习题：第三章不等式 3.4.3

4.3简单线性规划的应用

课时过关·能力提升

1.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3 t、B原料2 t;生产每吨乙产品要用A原料1 t、B原料3 t.销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13 t,B原料不超过18 t,那么该企业可获得的最大利润是()

A.12万元

B.20万元

C.25万元

D.27万元

x t,y t,获得利润为z万元,由题意知目标

函数z=5x+3y.不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.作直线l0:5x+3y=0,当平移l0至点M时,z取得最大值.

得M(3,4),故z max=5×3+3×4=27.故选D.

由

2.某研究所计划利用“神舟”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品A,B,该研究所要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安

排,通过调查,有关数据如下表:

预计收益(万元/件) 80 60

若合理安排这两种产品的件数进行搭载,使总预计收益达到最大,则最大收益是()

A.480万元

B.960万元

C.570万元

D.1 080万元

A产品x件,B产品y件,预计收益z=80x+60y.

则

∈∈

作出可行域,如图阴影部分中的整数点.

作出直线l0:4x+3y=0并平移,由图像得,当直线经过点M时,z取最大值, 由

得即M(9,4).

所以z max=80×9+60×4

=960(万元).

故搭载A产品9件,B产品4件,可使得总预计收益最大,为960万元.

3.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50公顷,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表:

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植

面积(单位:公顷)分别为( )

A.50,0

B.30,20

C.20,30

D.0,50

x 公顷,y 公顷,则总利润z=4×0.55x+6×0.3y-1.2x-

0.9y=x+0.9y.

此时x ,y 满足条件

∈ ∈

作出可行域如图阴影部分所示,得最优解为

A (30,20).故选

B .

答案:B

4.某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项

目乙投资的

,且对每个项目的投资不能低于5万元,对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在两个项目上共可获得的最大利润为( )

A.36万元

B.31.2万元

C.30.4万元

D.24万元 x 万元、y 万元,利润为z ,

则

z=0.4x+0.6y. 当x=24,y=36时,z max =31.2万元.

5.某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品,由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10 h,可加工出7 kg A 产品,每千克A 产品获利40元;乙车间加工一箱原料

需耗费工时6 h,可加工出4 kg B 产品,每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能

完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480 h,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )

A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱

B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱

C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱

D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱

x 箱,乙车间加工原料y 箱,由题意可知

∈ ∈

甲、乙两车间每天总获利为z=280x+200y.

作出可行域如图阴影部分中的整数点.

点M (15,55)为直线x+y=70和直线10x+6y=480的交点,由图像知,在点M (15,55)处z

取得最大值.

6.某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B 两种原料,已知生产1 t 每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1 t 甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,

则该企业每天可获得最大利润为( )

A.12万元

B.16万元

C.17万元

D.18万元

x t、y t,由题意知,x,y需满足约束条件每天可获得利润z=3x+4y.

由约束条件画出可行域,如图所示,l0:y=-x,平移l0过点C,使z取得最大值.

由得C(2,3),

故z

max

=6+12=18(万元).

7.某工厂有甲、乙两种产品,按计划每天各生产不少于15 t.已知生产甲产品1 t需煤9 t,电力4 kW·h,劳动力3个(按工作日计算);生产乙产品1 t需煤4 t,电力5 kW·h,劳动力10个.甲产品每吨价7万元,乙产品每吨价12万元.但每天用煤量不得超过300 t,电力不得超过200 kW·h,劳动力只有300个,当每天生产甲产品 t,乙产品 t 时,既能保证完成生产任务,又能使工厂每天的利润最大.

x吨,乙产品y吨,总利润为S万元,依题意约束条件为

目标函数为S=

7x+12y,作出可行域如图阴影部分所示,

当直线S=7x+12y经过点A时,直线的纵截距最大,所以S也取最大值.

解方程组-

-

得A(20,24),

故当x=20,y=24时,S max=7×20+12×24=428(万元).

24

★8.某厂准备生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为3千元、2千元.甲、乙产品都需要在A,B两种设备上加工,在每台A,B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1 h、2 h,加工一件乙产品所需工时分别为2 h、1 h,A,B两种设备每月有效使用时数分别为400和500.如何安排生产可使月收入最大?

x件,y件,约束条件是∈

∈

目标函数是

z=3x+2y,要求出适当的x,y,使z=3x+2y取得最大值.

作出可行域如图阴影部分中的整数点.

将z=3x+2y变形为y=-x+,

由图可知,当直线过点A时,

目标函数z取得最大值,

由

得

所以z max=3x+2y=3×200+2×100=800(千元),

800千元=80万元.

故甲、乙两种产品每月分别生产200件、100件时,可得最大收入80万元.

★9.某厂用甲、乙两种原料生产A,B 两种产品,已知生产1 t A 产品、1 t B 产品分别需要的甲、乙原料数,可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示:

在现有原料下,A,B 产品应各生产多少才能使利润总额最大?

A,B 两种产品分别为x t,y t,其利润总额为z 万元.

根据题意,得约束条件为

目标函数z=4x+3y.

作出可行域如图阴影部分所示.

作直线l 0:4x+3y=0,平移直线l 0经过点P 时,z=4x+3y 取得最大值.

由

得P .

所以z max =4×

+3×1=13(万元).

故生产A 产品2.5 t,B 产品1 t 时,总利润最大为13万元.

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