高三数学专题复习--抽象函数题型汇编--2019.7.23

抽象函数常见题型汇编

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：

一、定义域问题

(一)已知的定义域，求的定义域，

解法：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。

例题1：设函数的定义域为，则

（1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为_______

解析：（1）由已知有，解得，故的定义域为

（2）由已知，得，解得，故的定义域为

(二)已知的定义域，求的定义域。

解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。

例题2：函数的定义域为，则的定义域为_____。解析：由，得，所以，故填

(三)已知的定义域，求的定义域。

解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域。例题3：函数定义域是，则的定义域是_______ 解析：先求的定义域，的定义域是，

，即的定义域是

再求的定义域，，

的定义域是

(四)运算型的抽象函数

求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。

例题4：函数的定义域是，求的定义域。

解析：由已知，有，即

函数的定义域由确定

函数的定义域是

【巩固1】已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。

解析：的定义域是［1，2］，是指，

所以中的满足

从而函数f(x)的定义域是［1，4］

【巩固2】 已知函数的定义域是，求函数的定义域。 解析：的定义域是，意思是凡被f 作用的对象都在

中，由此可得 所以函数的定义域是

【巩固3】 f x ()定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12

定义域是__。 解析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以010111<+<<-

??-<<-<<+???x a x a a x a a x a (1)当-

≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1; (2)当012

<≤a 时，则x a a ∈-()，1

二、 解析式问题 1. 换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例题5： 已知 (

)211

x f x x =++,求()f x . 解析：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=-

2. 凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例题6： 已知33

11()f x x x

x +=+，求()f x 解析：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++- 又∵11||||1||x x x x +=+≥，∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)

3. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例题7： 已知()f x 二次实函数，且2

(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解析：设()f x =2ax bx c ++，则

22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+

=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=??=?===??=?∴213()22

f x x x =

++

4. 利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.

例题8： 已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解析：∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。 ∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,

∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-

∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0

x x f x x x +≥?=?

--

例题9： ()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1

g x x =-， 求()f x ,()g x . 解析：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,

不妨用-x 代换()f x +()g x =

11

x - ………①中的x , ∴1()()1

f x

g x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……② 显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1x g x x =-

5. 赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式 例题10： 设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x

解析：∵()f x 的定义域为N ，取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++ ∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加，有()f n =1+2+3+……+n =

(1)2n n +∴1()(1),2f x x x x N =+∈

【巩固4】 设函数f x ()存在反函数，g x f x h x ()()()=-1，与g x ()的图象关于直线x y +=0对称，则函数h x ()=

A. -f x ()

B. --f x ()

C. --f x 1()

D. ---f x 1() 解析：要求y h x =()的解析式，

实质上就是求y h x =()图象上任一点P x y ()00，的横、纵坐标之间的关系。 点P x y ()00，关于直线y x =-的对称点()--y x 00，适合y f x =-1()， 即-=-x g y 00()。又g x f x ()()=-1，

∴-=-?-=-?=---x f

y y f x y f x 0100000()()()，即h x f x ()()=--，选B 。

【巩固5】设对满足的所有实数x，函数满足

，求f(x)的解析式。

解析：在中以代换其中x，得：

再在(1)中以代换x，得

化简得：

评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。

三、求值问题

这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。或紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。

例题11：已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①；

②，求f(3)，f(9)的值。

解析：取，得

因为，所以

又取，得

例题12： 定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值。

解析：由f x f x ()()220-+-=，以t x =-2代入，有f t f t ()()-=， ∴f x ()为奇函数且有f ()00=，又由

f x f x ()[()]+=--44()()(8)(4)()f x f x f x f x f x =-=-∴+=-+=， f x ()是周期为8的周期函数， ∴==f f ()()200000

【巩固6】 已知f x ()的定义域为R +，且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ，y 都成立，若f ()84=，则f (2)=_______。

解析：在条件f x y f x f y ()()()+=+中，令x y ==4，得

f f f f ()()()()844244=+==，∴=f ()42

又令x y ==2，得f f f (4)(2)(2)=+=2，∴=f (2)1

【巩固7】 已知f x ()是定义在R 上的函数，且满足：f x f x f x ()[()]()+-=+211，

f ()11 …… 此处隐藏：12853字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……