高中数学立体几何题库全练习[1]

选校网 d650bb1a10a6f524ccbf85b8 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

选校网 d650bb1a10a6f524ccbf85b8 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 立体几何基础题题库二（有详细答案）

361. 有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，将它们一个侧面重叠后，还有几个暴露面?

解析：有5个暴露面.

如图所示，过V 作VS ′∥AB ，则四边形S ′ABV 为平行四边形，有∠S ′VA=∠VAB=60°，从而Δ

S ′VA 为等边三角形，同理ΔS ′VD 也是等边三角形，从而ΔS ′AD 也是等边三角形，得到以ΔVAD 为底，以S ′与S 重合.

这表明ΔVAB 与ΔVSA 共面，ΔVCD 与ΔVSD 共面，故共有5个暴露面.

362. 若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 .(只须写出一个可能的值)

解析： 该题的显著特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求积公式这个知识点，实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的.

排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.

由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体.

对于五条边为2，另一边为1的四面体，参看图1所示，设

AD=1，取AD 的中点为M ，平面BCM 把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD ⊥面BCM ，且V A —BCM =V D —BCM ，所以

V ABCD =3

1S ΔBCM ·AD. CM=22DM CD -=22)21

(2-=215.设N 是BC 的中点，则MN ⊥BC ，MN=22CN CM -=14

15-=211，从而S ΔBCM =21×2×211=211， 故V ABCD =

31×211×1=611.

选校网 d650bb1a10a6f524ccbf85b8 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

选校网 d650bb1a10a6f524ccbf85b8 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

对于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V=

122·)b a c )(a c b )(c b a (222222222-+-+-+， 不妨令a=b=2，c=1，则

V=12

2·)441)(414)(144(-+-+-+ =122·7=12

14. 363. 湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm 的空穴，求该球的半径.

解析：设球的半径为R ，依题意知截面圆的半径r ＝12,球心与截面的距离为d ＝R-8，由截面性质得：r 2+d 2＝R 2,即

122+(R-8)2＝R 2.

得R ＝13 ∴该球半径为13cm.

364. 在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为3米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).

解析：由题意知，光线与地面成60°角，设球的阴影部分面积为S ，垂直于光线的大圆面积为S ′，则Scos30°＝S ′,并且S ′＝9π，所以S ＝63π(米2

) 365. 设棱锥M —ABCD 的底面是正方形，且MA ＝MD ，MA ⊥AB ，如果ΔAMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.

解析： ∵AB ⊥AD ，AB ⊥MA ，

∴AB ⊥平面MAD ，

由此，面MAD ⊥面AC.

记E 是AD 的中点，

选校网 d650bb1a10a6f524ccbf85b8 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

选校网 d650bb1a10a6f524ccbf85b8 专业大全 历年分数线 上万张大学图片

大学视频 院校库 从而ME ⊥AD.

∴ME ⊥平面AC ， ME ⊥EF

设球O 是与平面MAD 、AC 、平面MBC 都相切的球.

不妨设O ∈平面MEF ，于是O 是ΔMEF 的内心.

设球O 的半径为r ，则r ＝

MF EM EF S MEF ++△2 设AD ＝EF ＝a,∵S ΔAMD ＝1.

∴ME ＝a 2.MF ＝22)2(a

a +, r ＝2

2)2(22

a a a a +++≤2

222+＝2-1 当且仅当a ＝a

2，即a ＝2时，等号成立. ∴当AD ＝ME ＝2时，满足条件的球最大半径为2-1.

366. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，期棱长为a.

(1)求证BD ⊥截面AB 1C ；（若一条直线垂直于一条斜线在这平面内的射影，则这条直线垂直于这条斜线）

(2)求点B 到截面AB 1C 的距离；

(3)求BB 1与截面AB 1C 所成的角的余弦值。

()111:DD BD AC ⊥??⊥?⊥?

证明面ABCD BD AC

同理BD 1⊥AB 1.∴BD 1⊥面ACB 1. (2)AB=BC=BB 1?G 为△AB 1C 的中心.AC=2a

AG=3

6323a 22=?? a ∴BG=222229

396)36(a a a a a =-=-=33a (3)∠BB 1G 为所求

cos ∠BB 1G=3

63611==a a BB GB 367. 已知Ｐ为ＡＢＣＤ所在平面外一点，Ｍ为ＰＢ的中点，求证：ＰＤ∥平面ＭＡＣ．

解析： 因M 为PB 的中点，连BD ∩AC 于O 后，可将PD 缩小平移到MO ，可见MO 为所求作的平行线． 证明 连ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，连ＭＯ，

选校网 d650bb1a10a6f524ccbf85b8 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

选校网 d650bb1a10a6f524ccbf85b8 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 则ＭＯ为△ＰＢＤ的中位线，

∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ?平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ，

∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ．

368. 如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M ，N ，Ｅ，Ｆ分别是棱Ｂ1Ｃ1，A 1D 1，Ｄ1Ｄ，ＡＢ的中点．

（１）求证：Ａ1Ｅ⊥平面ＡＢＭＮ．

（２）平面直线A 1E 与MF 所成的角．

解析：（１）要证A 1E ⊥平面ABMN ，只要在平面中找到两条相交直线与A 1E 都垂直，显然MN 与它垂直，这是因为MN ⊥平面A 1ADD 1，另一方面，AN 与A 1E 是否垂直，这是同一个平面中的问题，只要画出平面几何图形，用平几知识解决．（２）为（１）的应用．

证明 （１）∵AB ⊥平面A 1ADD 1，

而Ａ1Ｅ?平面A 1ADD 1，

∴AB ⊥Ａ1Ｅ．在平面A 1ADD 1中，A 1E ⊥AN ，

∵AN ∩AB ＝A ，∴A 1E ⊥平面ABMN ．

解 （２）由（１）知A 1E ⊥平面ABMN ，而MF ?平面ABMN ，∴A 1E ⊥MF ， 则A 1E 与MF 所成的角为９０°

369. 如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M 为棱C Ｃ1的中点，AC 交BD 于点O ，求证：A 1O ⊥平面MBD ．

解析：要证A 1O ⊥平面MBD ，只要在平面MBD 内找到两条相交直线与A 1O 都垂直，首先想到DB ，先观察 A 1O 垂直DB 吗？

方法１：发现A 1O 平分DB ，想到什么？（△A 1DB 是否为等腰三角形）

∵A 1D ＝A 1B ，DO ＝OB ，∴A 1O ⊥DB ．

方法２：A 1O ⊥DB 吗？即DB ⊥A 1O 吗？DB 垂直包含A 1O 的平面吗？（易见DB ⊥平面A 1ACC 1）

再观察A 1O 垂直何直线？DM ？BM ？因这两条直线与A 1O 均异面，故难以直接观察，平面MDB 中还有何直线？易想到MO ，因MO 与A 1O 相交，它们在同一平面内，这是一个平几问题，可画出平几图进行观察．

证明 取CC 1中点M ，连结MO ，∵DB ⊥A 1A ，DB ⊥AC ，A 1A ∩AC=A ，∴DB ⊥平面A 1ACC 1，而

A 1O ?平面A 1ACC 1，∴A 1O ⊥D