微积分选讲讲稿(完整版)(安徽财经大学内部资料)

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第一讲 函数、极限、连续

一、极限

（一）极限基本概念

1、极限的定义

（1）数列极限：设}{n a 为一个数列，A 为常数，若对任意0>ε，总存在0)(>εN ，当)(εN n >时，有ε<-||A a n 成立，则称A 为数列}{n a 的极限，记A a n n =∞→lim 或)(∞→→n A a n 。

（2）函数当自变量趋于无穷时的极限：设)(x f 为一个函数，A 为一个常数，若对任意0>ε，存在0>X ，当X x >||时，有ε<-|)(|A x f 成立，称)(x f 当∞→x 时以A 为极限，记为A x f x =∞

→)(lim 或)()(∞→→x A x f 。 （3）函数当自变量趋于有限值的极限：设)(x f 为一个函数，A 为一个常数，若对任意0>ε，存在0>δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<-|)(|A x f 成立，称)(x f 当a x →时以A 为极限，记为A x f a

x =→)(lim 或)()(a x A x f →→。 （4）左右极限：)(lim )0(0x f a f a x def +→=+，)(lim )0(0x f a f a x def

-→=-，分别称)0(),0(-+a f a f 为函数)(x f 在a x =处的左右极限，)(lim x f a

x →存在?)0(),0(-+a f a f 都存在且相等。 问题：

（1）若对任意的0>ε，总存在0>N ，当N n >时，有ε2||≤-A a n ，数列}{n a 是否以常数A 为极限？

（2）若数列}{n a 有一个子列以常数A 为极限，数列}{n a 是否以常数A 为极限？

（3）若数列}{n a 的奇子列与偶子列都存在极限，数列}{n a 是否有极限？若其奇子列和偶子列极限存在且相等，数列}{n a 的极限是否存在？

- 2 - 2、无穷小

（1）无穷小的定义：以零为极限的函数称为无穷小。

（2）无穷小的性质

1）有限个无穷小之和与积还是无穷小；

2）有界函数与无穷小之积还是无穷小。特殊情况，常数与无穷小之积还是无穷小；

3）极限与无穷小的关系：

（3）无穷小的层次关系

1）定义：

2）性质：

设ββαα''~,~，且αβ''lim 存在，则αβαβ'

'=lim lim ； βα~的充分必要条件是)(ααβo +=。

（4）当0→x 时常见的等价无穷小：

1）)1ln(~1~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x e x x x x x x

+-； 2）222

~cos 1,2~cos 1x a x x x a --； 3）ax x a ~1)1(-+。

（5）无穷大

1）定义：

2）无穷大与无穷小的关系。

问题：

（1）无穷多个无穷小之和是否一定是无穷小？

（2）设γβα,,都是无穷小，且)(),(αγαβo o ==，是否一定有γβ~？

（3）有限个非无穷小之和或者积是否一定不是无穷小？举例说明。

（二）极限的性质

1、极限的基本性质

（1）唯一性：数列或函数极限存在必是唯一的。

（2）有界性

1）若数列极限存在，则该数列一定有界，反之不对。

2）函数极限的局部有界性：

（3）保号性

1）若函数的极限大于（或小于）零，则函数在该点的去心邻域内也大于（或小于）零；

2）若函数是非负（或非正）的，且函数的极限存在，则极限也是非负（或非正）。

（4）列与子列极限极限的关系：

- 3 - 2、极限的存在性定理与重要极限

定理1 单调有界的数列必有极限。

定理2 夹逼定理（数列及函数）：

重要极限：

（1）1sin lim 0=→x

x x ； （2）e =?+?→?1

0)1(lim ； （3）a x a x x ln 1lim 0=-→。 3、极限运算性质

（1）四则运算性质

（2）复合函数极限运算性质

注解：

问题：

（1）若}{n a 有界，n n a ∞→lim 是否一定存在？ （2）若A a n n =∞

→lim ，当n m >时，是否一定有||||A a A a n m -<-？举例说明。 （3）若)]()(lim[x g x f +存在，)(lim x f 及)(lim x g 是否存在？若)]()(lim[x g x f +及)(lim x g 存在，是否一定有)(lim x f 存在？

（4）若)0(0)(<>x f ，且A x f =)(lim ，是否一定有)0(0<>A ？举例说明。

二、连续与间断

（一）基本概念

1、函数连续的定义

（1）函数在一点连续的定义及等价定义

（2）函数在闭区间上连续的定义

2、间断及其间断点的分类

（1）第一类间断点：

（2）第二类间断点。

（二）闭区间上连续函数的性质

1、最值定理

2、有界定理

3、零点定理

4、介值定理

（1）最值型介值定理：

（2）端点型介值定理：

- 4 - 注解：

（1）初等函数在其定义域内连续；

（2）函数在一点连续的充分必要条件是该点的函数值、左右极限相等。

问题：

（1）设)(),(x g x f 都在a x =处间断，则)(,)

()(),()(),()(2x f x g x f x g x f x g x f ?±是否一定在a x =处间断？

（2）若函数在一点连续，函数是否在该点的邻域内也连续？举例说明。

例题部分

一、填空题

1、______)

21ln(1lim 2

0=+-→x x e x x 。 2、设)0(~22332→-+x ax x b ，则______,==b a 。 3、______arcsin tan sin lim

20=-→x

x x x x 。 4、设2)](1ln[lim 20=+→x x f x ，则______)(lim 20=→x x f x 。 5、设A a

x b x f a x =--→)(lim ，则______lim )(=--→a x e e a x f a x 。 6、)0,0,0______()(lim 1>>>=++∞→c b a c b a n

n n n n 。 7、)0______(])2

(1[lim 12

≥=++∞→x x x n n n n 。 8、______)tan 11(lim 20=-→x

x x x 。 9、设??

???=≠-+=0,0,12sin )(2x a x x e x x f ax 在点0=x 处连续，则______=a 。

- 5 - 二、解答题

1、判别函数)1ln()(2++

=x x x f 的奇偶性，并求其反函数。

2、求下列极限： （1）2010102000)25()23()12(lim ++-∞→x x x x 。 （2）)

1ln()13ln(lim 102++++∞→x x x x 。 （3）)0(2cos 2cos 2cos lim 20≠→x x x x n x 。 （4）)0,0()2(lim 1

0>>+→b a b a x x

x x 。 （5）2)1(cos lim x x x

∞→。 （6）x x x x 10)cos sin 2(lim +→。 （7）______3)3ln()ln(lim 3220=-+-+→x e x x x e x x x 。 （8）π1sin lim 2+∞

→n n 。 （9）???? ??+-++?+?∞→)12)(12(1531311lim n n n ； （10）()x x x cos 1120sin 1lim -→+。

（11）3

1

0sin 1tan 1lim x x x x ??

? ??++→； （12）)cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→。 3、证明数列333,,33,3++++ 极限存在，并求其极限。

4、设01,111=-+=+n n x x x ，证明数列}{n x 收敛，并求n n x ∞→lim 。

5、设n a a a ,,,21 为常数，)1ln ()21ln ()1ln (

)(21nx a x a x a x f n ++++++= 。且|||)(|x x f ≤，证明：1|2|21≤+++n na a a 。

6、求极限)2211(lim 222n

n n n n n ++++++∞→ 。 7、设],[)(b a C x f ∈，)1](,[n i b a x i ≤≤∈，)1(0n i k i ≤≤>且121=+++n k k k ，证明：存在],[b a ∈ξ，使得)()()(11n n …… 此处隐藏：13081字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……