2018年兰州大学量子力学(同等学力加试)复试实战预测五套卷

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2018年兰州大学量子力学（同等学力加试）复试实战预测五套卷（一） (2)

2018年兰州大学量子力学（同等学力加试）复试实战预测五套卷（二） (12)

2018年兰州大学量子力学（同等学力加试）复试实战预测五套卷（三） (22)

2018年兰州大学量子力学（同等学力加试）复试实战预测五套卷（四） (34)

2018年兰州大学量子力学（同等学力加试）复试实战预测五套卷（五） (42)

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第 2 页，共 53 页 2018年兰州大学量子力学（同等学力加试）复试实战预测五套卷（一）

特别说明：

1-本资料为2018复试学员内部使用，终极模拟预测押题，实战检测复试复习效果。

2-资料仅供复试复习参考，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权、请联系我们立即处理。 ————————————————————————————————————————

一、计算题

1． 两个质量为m 的粒子处于一个边长为a ＞b ＞c 的，不可穿透的长盒子中.求下列条件该体系能量最低态的 波函数（只写出空间部分）及对应能量.

（1）非全同离子；

（2）零自旋全同离子；

（3）自旋为1/2的全同离子.

【答案】单粒子在边长a ＞b ＞c 的盒子中的定态波函数和定态能量为

（1）当两粒子是非全同离子时，体系能量最低的波函数为

对应能量为

.

（2）对于零自旋全同离子，体系的波函数必须是交换对称的，则体系能量最低的函波数是

对应能量为

.

（3）对于自旋为1/2的全同粒子，体系的波函数必须是交换反对称的. 自旋

对应的本征函数有4个： 已知是交换反对称的，要配对称的空间波函数；是交换对称的，要配反对称

的空间波函数.所以体系能量最低的态对应的波函数是

对应能量为

.

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第 3 页，共 53 页 2． 证明是线性谐振子的本征波函数，并求此本征态对应的本征能量.

式中A 为归一化常数，

【答案】已知线性谐振子的定态波函数和本征能量为

本题中波函数

所以是线性谐振子的本征波函数，对应量子数n=2,因此容易得到其，本征能量为

3．

为电子自旋算符。写出在表象中的矩阵表示、的本征值及其对应的本征态。 【答案】

4． 对于一个限制在边长为L 的立方体中的自旋为1/2、质量为m 的粒子，计算基态与第二激发态的本征能量及相应的本征态波函数.

【答案】这是一个三维方势阱问题，例子波函数为

S 为自旋波函数.

可分离变量得

最终解得

代表例子自旋朝上和朝下两种状态.

由于粒子自旋此时并不会对粒子能量产生影响，故

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粒子能量基态：

对应波函数为： 例子第一激发态能量：

对应波函数有：

第二激发态能量：

对应波函数有：

5． 设

为氢原子束缚态能量本征函数（已归一），考虑自旋后，某态表示为在该态下计算（结果应尽量化简）：

（1）在薄球壳内找到粒子的几率。 （2）在薄球壳内找到粒子且自旋沿

的几率。

（3）

为总角动量，计算在该态下的平均值。

【答案】（1）由题意可得：在薄球壳内找到粒子的概率

为：

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（2）在薄球壳内找到粒子且自旋沿+x 的几率可表示 为：

已知在本征态表象下

故： 因此有：

（3）在下的平均值为：

6． 已知

在的本征态下，计算的平均值。 【答案】

7． 一质量为m 的粒子，可在宽为a 无限深势阱当中自由运动.在t=0的初始时刻其波函数为

其中A 为实常数.

（1）求A 使

满足归一化条件. （2）如果进行能量测量，则能得到哪些能量值?相应取这些能量值的概率又是多少?再计算能量的平均值？

（3）求t 时刻的波函数

【答案】（1）无限深方势阱中粒子的本征波函数为

初始时刻波函数可化为

由归一化条件有解得. （2）无限深方势阱中粒子的本征能量为故粒子可能测得能量即