2015年全国中考数学试卷解析分类汇编 专题42 综合性问题(第三期)

第 1 页 共 93 页 综合性问题

一、选择题

1． （2015?酒泉第6题 3分）下列命题中，假命题是（ ）

二、填空题

1． （2015?辽宁省朝阳,第16题3分）如图，在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，AO=，BO=1，

AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交射线BO 于点F ．点P 从点A 出发沿射线AO 以每秒2个

单位的速度运动，同时点Q 从点O 出发沿OB 方向以每秒1个单位的速度运动，当点Q 到

达点B 时，点P 、Q 同时停止运动．设运动的时间为t 秒．中国%教@*育出版网&]

（1）当t= 时，PQ ∥EF ；

（2）若P 、Q 关于点O 的对称点分别为P′、Q′，当线段P′Q′与线段EF 有公共点时，t 的取

值范围是 0＜t≤1且t≠ ．

考点：几何变换综合题．

分析：（1）利用平行线的性质结合相似三角形的判定与性质得出△AEN∽△QOP，进而利用锐角三角函数关系求出即可；

（2）利用线段垂直平分线的性质得出△FBA是等边三角形，进而得出线段P′Q′与线段EF有公共点时t的最大值，进而得出答案．

解答：解：（1）如图1，当PQ∥EF时，

则∠QPO=∠ENA，

又∵∠AEN=∠QOP=90°，

∴△AEN∽△QOP，

∵∠AOB=90°，AO=，BO=1，[*zz%ste p.#~co^m]

∴tanA==

=，

∴∠A=∠PQO=30°，

∴=

=，

解得：t=，

故当t=时，PQ∥EF；

故答案为：；

（2）如图2，∵∠BAO=30°，∠BOA=90°，

∴∠B=60°，

∵AB的垂直平分线交AB于点E，

∴FB=FA，

∴△FBA是等边三角形，

∴当PO=OA=时，此时Q′与F重合，A与P′重合，

∴PA=2，则t=1秒时，线段P′Q′与线段EF有公共点，故当t的取值范围是：0＜t≤1，由（1）得，t≠．

故答案为：0＜t≤1且t≠．

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中国教育@出版网&*%

来源%:中~#教网

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质、锐角三角三角函数关系等知识，得出临界点时t的最值是解题关键．

2. （2015?辽宁省盘锦,第18题3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰△OBC的边OB在x轴上，OB=CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，连接OD，AB=，∠CBO=45°，在直线BE上求点M，使△BMC与△ODC相似，则点M的坐标是（1，﹣1）或（﹣，）．

考点：相似三角形的判定与性质；一次函数图象上点的坐标特征．中国教育出版网&%

分析：根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，可得△ODC是等腰三角形，先根据等腰直角三角形的性质和勾股定理得到AC，BC，OB，OA，OC，AD，OD，CD，BD的长度，再根据相似三角形的判定与性质分两种情况得到BM的长度，进一步得到点M的坐标．

解答：解：∵OB=CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，AB=，∠CBO=45°，[zz#%&step*@.com]

∴AB=AC=，OD=CD，[w~ww.z&zste%p.#com@]

在Rt△BAC中，BC==2，[z#z&ste^p~.co@m]

∴OB=2，

∴OA=OB﹣AB=2﹣，

在Rt△OAC中，OC==2，

在Rt△OAD中，OA2+AD2=OD2，来源中国教育@^出#*版网

（2﹣）2+AD2=（﹣AD）2，

解得AD=2﹣，

∴OD=CD=2﹣2，

在Rt△BAD中，BD==2，

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①如图1，△BMC∽△CDO时，过M点作MF⊥AB于F，

=，即=，

解得BM=，

∵MF⊥AB，CA是OB边上的高，

∴M F∥DA，来源:*中国教育出版网@&#]

∴△BMF∽△BDA，[z^z&@ste*p.co~m]

∴==，即==，

解得BF=1，MF=﹣1，

∴OF=OB﹣BF=1，

∴点M的坐标是（1，﹣1）；

②如图2，△BCM∽△CDO时，过M点作MF⊥AB于F，

=，即=，

解得BM=2，

∵MF⊥AB，CA是OB边上的高，

∴MF∥DA，

∴△BMF∽△BDA，

∴==，即==，

解得BF=2+，MF=，

∴OF=BF﹣OB=，

∴点M 的坐标是（﹣，）．

综上所述，点M的坐标是（1，﹣1）或（﹣，）．中国教%@育出版网

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故答案为：（1，﹣1）或（﹣，）．

点评：考查了相似三角形的判定与性质，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质和勾股定理，关键是得到BM的长度，注意分类思想的应用．

三、解答题

1．（2015?湖北十堰，第22题8分）如图，点A（1﹣，1+）在双曲线y=（x＜0）

上．

（1）求k的值；

（2）在y轴上取点B（0，1），为双曲线上是否存在点D，使得以AB，AD为邻边的平行四边形ABCD的顶点C在x轴的负半轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：反比例函数综合题．

分析：（1）直接利用反比例函数图象上点的坐标性质代入求出即可；

（2）根据平行四边形的性质得出D点纵坐标，进而代入函数解析式得出D点横坐标即可．解答：解：（1）∵点A（1﹣，1+）在双曲线y=（x＜0）上，

∴k=（1﹣）（1+）=1﹣5=﹣4；

（2）过点A作AE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，

∵四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形ABCD，

∴DC AB，

∵A（1﹣，1+），B（0，1），

∴BE=，

由题意可得：DF=BE=，

则=，

解得：x=，

∴点D的坐标为：（﹣，）．

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点评：此题主要考查了反比例函数综合以及平行四边形的性质，得出D点纵坐标是解题关键．

2．（2015?湖北十堰，第24题10分）如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O 于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD=2．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．来

^&%源中教网@~

（1）求证：DF为⊙O的切线；[ww#w%.zzstep@.*com~

（2）若∠BAC=60°，DE=，求图中阴影部分的面积；

（3）若=，DF+BF=8，如图2，求BF的长．

来源中国教^*@育出版网%]

考点：圆的综合题．

专题：综合题．

分析：（1）连结OD，如图1，由角平分线定义得∠BAD=∠CAD，则根据圆周角定理得到=，再根据垂径定理得OD⊥BC，由于BC∥EF，则OD⊥DF，于是根据切线的判定

定理即可判断DF为⊙O的切线；

（2）连结OB，OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，先证明△OBD为等边三角形得到∠ODB=60°，OB=BD=2，易得∠BDF=∠DBP=30°，根据含30度的直角三角形三边的关

系，在Rt△DBP中得到PD=BD=，PB=PD=3，接着在Rt△DEP中利用勾股定理计算出PE=2，由于OP⊥BC，则BP=CP=3，所以CE=1，然后利用△BDE∽△ACE，通过相似比可得到AE=，再证明△ABE∽△AFD，利用相似比可得DF=12，最后根据扇形面积公式，利用S阴影部分=S△BDF﹣S弓形BD=S△BDF﹣（S扇形BOD﹣S△BOD）进行计算；

（3）连结CD，如图2，由=可设AB=4x，AC=3x，设BF=y ，由=得到CD=BD=2，

先证明△BFD∽△CDA，利用相似比得到xy=4，再证明△FDB∽△FAD，利用相似比得到16﹣4y=xy，则16﹣4y=4，然后解方程易得BF=3．

解答：证明：（1）连结OD，如图1，

∵AD平分∠BAC交⊙O于D，

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∴∠BAD=∠CAD，来@源中国教育出#%版网

∴=，

∴OD⊥BC，

∵BC∥EF，

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