江苏科技大学—大学高等数学概念(基础版)

江苏科技大学—大学高等数学概念（基础版）

目录

第一章函数与极限

第一节函数

第二节数列的极限

第三节函数的极限

第四节无穷小与无穷大

第五节极限四则运算法则

第六节极限存在准则、两个重要极限

第七节无穷小的比较

第八节函数的连续性与间断点

第九节连续函数的运算与初等函数的连续性

第十节闭区间上连续函数的性质

第二章导数与微分

第一节导数的概念

第二节函数的求导法则

第三节初等函数的求导问题

双曲函数与反双曲函数的导数

第四节高阶导数

第五节隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数相关辩化率

第六节函数的微分

第三章中值定理与导数的应用

第一节中值定理

第二节洛必达法则

第三节泰勒公式

第四节函数单调性的判定法

第五节函数的极值与最值

第六节曲线的凹凸与拐点

第七节曲率

第八节方程的近似解

第四章不定积分

第一节不定积分的概念及其性质

第二节不定积分的换元积分

第三节不定积分的分部积分法

第四节几种特殊类型函数的积分

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第五章定积分

第一节定积分概念与性质

第二节微积分基本定理

第三节定积分换元积分法与分部积分法

第四节广义积分

第六章定积分的应用

第一节定积分的元素法

第七章多元函数微分法及其应用

第一节多元函数的基本概念

第二节偏导数

第三节全微分

第四节多元复合函数的求导法则

第五节隐函数的求导法则

第六节微分法在几何上的应用

第七节方向导数与梯度

第八节多元函数的极值及其求法

第八章重积分

第一节二重积分的概念与性质

第二节二重积分的计算

第三节二重积分的应用

第四节三重积分的概念及其计算法

第五节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

第九章微分方程

第一节微分方程的基本概念

第二节可分离变量的微分方程

第三节齐次方程

第四节一阶线性微分方程

第五节全微分方程

第六节可降阶的高阶微分方程

第七节高阶线性微分方程

第八节二阶常系数齐次线性微分方程

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第一章 函数与极限

第一节 函 数

教学目的：本节主要是复习高中阶段学过的集合以及函数的概念、性质；介绍邻域、

分段函数、复合函数、初等函数的概念。

教学重点：分段函数、复合函数；

一、 集合、常量与变量

(一) 集合

1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A 、B 、C ……等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a 是集合M 的一个元素，就记a ∈M （读a 属于M ）；若事物a 不是集合M 的一个元素，就记a ?M 或a ∈M （读a 不属于M ）；集合有时也简称为集。

注意：（1）对于一个给定的集合，要具有确定性的特征，即对于任何一个事物或元素，能够判断

它属于或不属于给定的集合，二者必居其一.

（2）对于一个给定的集合，其中的元素应是互异的，完全相同的元素，不论数量多少，

在一个集合里只算作一个元素，就是说，同一个元素在同一个集合里不能重复出现.

（3）若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集

2. 集合的表示法

表示集合的方法，常见的有列举法和描述法两种.

列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，并用花括号{ }括起来，这种方法称为列举法.

3.全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R 。

以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。

4.集合间的基本关系：若集合A 的元素都是集合B 的元素，即若有A x ∈，必有B x ∈，就称A 为B 的子集，记为B A ?,或A B ?(读B 包含A)。

显然：R Q Z N ???.

若B A ?,同时A B ?,就称A 、B 相等,记为A=B 。

5.不含任何元素的集称为空集,记为Φ,如：{R x x x ∈=+,012}=Φ,{12:-=x x }=Φ,空集是任

何集合的子集,即A ?Φ。

(二) 区间与邻域

1. 区间

设a 和b 都是实数，且a

数集 {x | a

(a , b)={x | a

a 和

b 称为开区间( a , b ) 的端点，这里a ?( a ,b ) ， b ?( a ,b ).

江苏科技大学—大学高等数学概念（基础版） （版权所有，翻印必究）

第 4 页 共 85 页 数集 {x |a b x ≤≤}称为闭区间，记作[a,b]，即

[ a, b ]={ x| a b x ≤≤}.

a 和

b 称为闭区间[ a ,b ] 的端点，这里a ∈ [ a , b ]， b ∈ [ a , b ] .

类似地可以说明：

[ a,b )=={ x | a ≤x

( a ,b ] ={x |a

[ a,b )和( a ,b]都称为半开区间.