8-9 构造与论证.题库版

1. 掌握最佳安排和选择方案的组合问题.

2. 利用基本染色去解决相关图论问题．

知识点说明 各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．

组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．

板块一、最佳安排和选择方案 【例 1】 5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷

到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?

【考点】构造与论证 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234；

现在将第4卷调至此时第1卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123；

现在将第3卷调至此时第1卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312；

最后将第1卷和第2卷对调即可．

所以，共需调换4+3+2+1=10次．

【答案】10次

【例 2】 在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面

朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？

【考点】构造与论证 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 从整体进行考虑．所得的2009个和相加，便等于1～2009的所有数的总和的2倍，是个偶数．2009

个数的和是偶数，说明这2009个数中必有偶数，那么这2009个数的乘积是偶数．

本题也可以考虑其中的奇数．由于1～2009中有1005个奇数，那么正反两面共有2010个奇数，而只有2009张卡片，根据抽屉原理，其中必有2个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片上的数字的和是偶数，从而所有2009个和的乘积也是偶数．

知识点拨

知识点拨

教学目标

构造与论证

【答案】偶数

【例3】一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的

棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩

下的棋子是颜色(填“黑”或者“白”)．

【考点】构造与论证【难度】3星【题型】填空

【解析】在每一次操作中，若拿出的两枚棋子同色，则补黑子1枚，所以拿出的白子可能为0枚或2枚；

若拿出的两枚棋子异色，则补白子1枚，“两枚棋子异色”说明其中一黑一白，那么此时拿出的白子数为0枚．可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚，而由于起初白子有200枚，是偶数枚，所以每次操作后剩下的白子都是偶数枚，因此最后1枚不可能是白子，只能是黑子．

【答案】黑子

【例4】在黑板上写上1、2、3、4、……、2008，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是

奇数还是偶数？为什么？

【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答

【解析】根据等差数列求和公式，可知开始时黑板上所有数的和为123200820091004

是一个

++++=?偶数，而每一次“操作”，将a、b两个数变成了()

-，它们的和减少了2b，即减少了一个偶数．那

a b

么从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，还是一个偶数．

所以每次操作后黑板上剩下的数的和都是偶数，那么最后黑板上剩下一个数时，这个数是个偶数．【答案】偶数

【例5】在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都

是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?

【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答

【解析】最少要1997次，将第一列中的每一格都按一次，则除第一列外，每格的灯都只改变一次状态，由不亮变成亮．而第一列每格的灯都改变1997次状态，由不亮变亮．如果少于1997次，则至少有一列和至少有一行没有被按过，位于这一列和这一行相交处的灯保持原状，即不亮的状态．【答案】1997次

【例6】有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有

989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：

(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?

【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答

【解析】(1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→(50，0，50)→(25，25，

50)→(0，0，25)．

(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所

以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变．

现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走．

【答案】(1)可以(2)不能

【例7】在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有

10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一

场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜

几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?

【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答

【解析】当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分)．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是

10+2-2+3=13(分)．所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高．

当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得10+2+2-2=12(分)．此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三场比赛

共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，34÷3=1113

，推知，必有人得分不超过11分.

也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高.

【答案】胜3场

【例 8】 n 支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，

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