高等数学复旦大学出版第三版课后答案习题全1(陈策提供)

1 习题一

1. 下列函数是否相等,为什么

?

222(1)()();(2)sin (31),sin (31);1

(3)(),() 1.

1f x g x y x u t x x f x g x x x =

==+=+-==+- 解: (1)相等.

因为两函数的定义域相同,都是实数集R ;

由

x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.

(2)相等.

因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.

(3)不相等.

因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.

2. 求下列函数的定义域

211(1)arctan ;(2);lg(1)(3); (4)arccos(2sin ).

1y y x x x

y y x x =

=-==- 解: (1)要使函数有意义,必须

400x x -≥??≠?

即 40x x ≤??≠? 所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞ .

(2)要使函数有意义,必须

30

lg(1)010x x x +≥??-≠??->? 即

301x x x ≥-??≠??

所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).

(3)要使函数有意义,必须

210x -≠ 即 1x ≠±

所以函数的定义域是(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ .

(4)要使函数有意义,必须

2 12sin 1x -≤≤ 即 1

1

sin 22x -≤≤ 即π

π2π2π66k x k -+≤≤

+或5π7π2π2π66k x k +≤≤+,(k 为整数). 也即π

π

ππ66k x k -+≤≤+ (k 为整数). 所以函数的定义域是π

π

[π,π]66k k -

++, k 为整数. 3. 求函数1sin ,00,0x y x

x ?≠?=??=?的定义域与值域.

解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当0x ≠时,1x 可以是不为零的任意实数,此时,1

sin x 可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1].

4. 没1()1x

f x x -=+,求1

(0),(),().f f x f x - 解: 10

(0)110f -==+,1()

1(),1()1x x f x x x --+-==+--1

111().111x x f x x x --==++ 5.设1,

10()1,02x f x x x -≤

解: 1,1101,01(1).(1)1,

012,13x x f x x x x x -≤-<≤

解: ()ln (())22,g x x x f g x ==

(())()ln ()2ln 2(ln 2)2,x x x g f x f x f x x ==?=?

()2(())22,(())()ln ()ln ln(ln ).

x

f x f f x

g g x g x g x x x x x ==== 7. 证明:3()21f x x =-

和()g x =.

证:由321y x =-

解得x =

3

故函数3()21f x x =-

的反函数是)y x =

∈R ,

这与()g x =

是同一个函

数,所以3()21f x x =-

和()g x =

.

8. 求下列函数的反函数及其定义域:

25

3

1(1); (2)ln(2)1;1(3)3

; (4)1cos ,[0,π].

x x y y x x

y y x x +-=

=+++==+∈

解: (1)由11x y x

-=

+解得11y x y

-=

+,

所以函数11x y x

-=

+的反函数为1(1)1x y x x

-=≠-+.

(2)由ln(2)1y x =++得1e 2y x -=-,

所以,函数ln(2)1y x =++的反函数为1e 2()x y x -=-∈ R .

(3)由253x y +=解得31(log 5)2

x y =

-

所以,函数253x y +=的反函数为31(log 5)(0)2

y x x =

-> .

(4)由31cos y x =+

得cos x =

,又[0,π]x ∈,

故arccos x =.

又由1cos 1x -≤≤得3

01cos 2x ≤+≤,

即02y ≤≤,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数3

1cos ,[0,π]y x x =+∈的反函

数为arccos

(02)y x =≤≤.

9. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:

2

(1); (2)ln 1x y y x x x

=

=++

解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当0x ≤时,有2

01x x

≤+,当0x >时,有

2

1122

x x x

x

≤

=

+,

故(,),x ?∈-∞+∞有12

y ≤.即函数2

1x y x

=

+有上界.

又因为函数2

1x y x

=

+为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函

数必有下界,因而函数2

1x y x

=+有界.

4

又由1212121222221

2

1

2

()(1)11(1)(1)

x x x x x x y y x

x

x x ---=

-

=

++++知,当12x x >且121x x <时,12y y >,而

当12x x >且121x x >时,12y y <. 故函数2

1x y x

=

+在定义域内不单调.

(2)函数的定义域为(0,+∞),

10,0M x ?>?> 且12;e

0M

x M x >?>>,使2ln x M >.

取012max{,}x x x =,则有0012ln ln 2x x x x M M +>+>>, 所以函数ln y x x =+在定义域内是无界的. 又当120x x <<时,有12120,ln ln 0x x x x -<-<

故1211221212(ln )(ln )()(ln ln )0y y x x x x x x x x -=+-+=-+-<. 即当120x x <<时,恒有12y y <,所以函数ln y x x =+在(0,)+∞内单调递增. 10. 判断下列函数的奇偶性:

22(1)()(2)e

e

sin .x

x

f x y x -=

=-+

解

: (1)()()f x f x -=

=

=

()f x ∴=

+

.

(2)222222()e

e sin()e

e

sin (e

e

sin )()x

x

x

x

x

x

f x x x x f x ----=-+-=-+=--+=-

∴函数22e

e

sin x

x

y x -=-+是奇函数.

11. 设()f x 定义在(-∞,+∞)上,证明:

(1) ()()f x f x +-为偶函数; (2)()()f x f x --为奇函数. 证: (1)设()()()F x f x f x =+-,则(,)x ?∈-∞+∞, 有()()()()F x f x f x F x -=-+= 故()()f x f x +-为偶函数.

(2)设()()(),G x f x f x =--则(,)x ?∈-∞+∞,

有()()()[()()]()G x f x f x f x f x G x -=---=---=-

5

故()()f x f x --为奇函数.

12. 某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半). 解: 设年销售批数为x , 则准备费为103

x ;

又每批有产品

6

10x

件,库存数为

6

10

2x

件,库存费为

6

10

0.052x

?元.

设总费用为,则6

3

100.05

102y x x

?=+

.

13. 邮局规定国内的平信,每20g 付邮资0.80元,不足20 g 按20 g 计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y 与重 …… 此处隐藏：15983字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……