第三章 函数极限习题解答

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第3章 函数极限

§3.1 函数极限的概念

一 基本内容

一、函数在无穷远处的极限

定义1 设()f x 为定义在[,)a +∞上的函数，A 为一常数，

+lim ()0, 0 ()x f x A X x X f x A εε→∞

=??>?>?>?-<“”,．

定义2 设()f x 为定义在(,]a -∞上的函数，A 为一常数，

-lim ()0, 0x f x A X ε→∞

=??>?>，()x X f x A ε?<-?-<“”．

定义3 设()f x 为定义在(,)-∞+∞上的函数，A 为一常数，

lim ()0, 0, ()x f x A X x X f x A εε→∞

=??>?>?>?-<“”．

二、函数在某一点0x 的极限

定义4 设 f (x )为定义在00(,)U x δ上的函数，A 为一常数，

lim ()0, 0 x x f x A εδ→=??>?>，00()x x f x A δε?<-

三、单侧极限

定义5 设f (x )为定义在0

0(,)U x δ-上的函数，A 为一常数， 左极限-0

0(0)lim ()x x f x f x A →-==0, 0εδ??>?>，

00 ()x x x f x A δε?-<

定义5' 设f (x )为定义在0

0(,)U x δ+

上的函数，A 为一常数， 右极限0

0(0)lim ()x x f x f x A +→+==0, 0εδ??>?>，

00< < +x x x δ?“()f x A ε?-<”

．

二 习题解答

1 按定义证明下列极限．

(1) 65

lim 6x x x →+∞+=．

证：因为6556x x x +-=

，所以0ε?>，取5

X ε

=，则x X >时， 6555

6x x x X

ε+-=<=， 故65

lim

6x x x

→+∞+=．

(2) 22

lim(610)2x x x →-+=．

证：因为2610224x x x x -+-=-?-，限制21x -<，则

4223x x -≤+-<，

所以0ε?>，取min 1,3εδ??

=????

，则2x δ-<时，

2610232x x x ε-+-<-<，

故22

lim(610)2x x x →-+=．

(3) 22

5

lim 11

x x x →+∞-=-． 证：因为2x >时，22

544

11(1)(1)x x x x x --=<--+，所以0ε?>，取 4max 2,X ε??

=????

，

则x X >时，22

544

11(1)(1)x x x x x

ε--=<<--+，故225lim 11x x x →+∞-=-． (4)

2

0x →=．

证：因为(0,2)x ∈

=<

0ε?>，取2min 1,4εδ??

=????

，则2x δ-<

ε，故

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2

0x →． (5) 0

0lim cos cos x x x x →=．

证：因为00

00cos cos 2sin

sin 22

x x x x x x x x +--=≤-，

所以0ε?>，取δε=，则0x x δ-<时，0cos cos x x ε-<，故0

0lim cos cos x x x x →=．

2 根据0

lim ()x x f x A →=的定义，下列定义是否与之等价？

(1) , 0n N δ?∈?>，001

(,)()x U x f x A n

δ?∈?-<“”；

(2) 0, n N ε?>?∈，001,()x U x f x A n ε??

?∈?-< ???

“”；

(3) 0, 0εδ?>?>，()00,()x U x f x A k δε?∈?-<“”，k R +∈； (4) 设0n a >，且lim 0n n a →∞

=，

, 0n N δ?∈?>，()0

0,()n x U

x f x A a δ?∈?

-<“”．

解：根据0

lim ()x f x A →=的定义，四个命题皆与之等价．实因： (1) 取1n

ε=即知结论成立．(2) 取1n

δ=即知结论成立．

(3) ε为任意小的正数k ε?为任意小的正数． (4) 由lim 0n n a →∞

=知{}n a 为无穷小．

3 根据定义2叙述0

lim ()x x f x A →≠的定义．

解： 0

00lim ()0,0,(,)x x f x A x U x εδδ→'≠??>?>?∈，

0()f x A ε?-≥“”．

4 设0

lim ()x x f x A →=，证明：00

lim ()h f x h A →+=．

证：因为0

lim ()x x f x A →=，所以0,0εδ?>?>，

00()x x f x A δε?<-

取0x x h =+，则000x x h δδ<-

00()h f x h A δε<

故00

lim ()h f x h A →+=．

5 证明：若0

lim ()x x f x A →=，则0

lim ()x x f x A →=．问：反之是否成立?

证：因为0

lim ()x x f x A →=，所以0,0εδ?>?>，

00()x x f x A δε?<-

于是00x x δ<-<时，()()f x A f x A ε-≤-<，故0

lim ()x x f x A →=．

反之不成立，例如1,

0()1,

x f x x >?=?

-≤?，0

lim ()1x f x →=，但0

lim ()x f x

→不存在．

6 证明定理１0

lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?==．

证：()?设0

lim ()x x f x A →=，则0,0εδ?>?>，

00()x x f x A δε?<-

于是00x x δ<-<时，()f x A ε-<，从而0

lim ()x x f x A +→=；00x x δ<-<时，

()f x A ε-<，从而0

lim ()x x f x A -→=，故结论成立．

()?设0

lim

()lim ()x x

x x f x f x A -+→→==，则0ε?>，

1012020,0()0,0()x x f x A x x f x A δδεδδε??>?<-

?>?<-

“”

， 取12min{,}δδδ=，则当00x x δ<-<时，()f x A ε-<，故0

l i m ()x x f x A →=．

7 讨论下列函数在0x →时的左、右极限与极限．

(1) ()x

f x x

=．

解：00lim ()lim 1

x x x f x x --→→-==-，00lim ()lim 1x x x

f x x ++→→==，因左、右极限不相等，所以0

lim

x x

x

→不成立．

(2) []()f x x =．

解：0

lim ()lim[]1x x f x x --→→==-，0

lim ()lim[]0x x f x x ++

→→==，因左、右极限不相等，所以0

lim[]x x →不成立．

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(3) 2

2, 0()0, 01, 0

x x f x x x x ?>?

==??+

解：20

lim ()lim (1)1x x f x x --→→=+=，00

lim ()lim 21x x x f x ++

→→==，因左、右极限存在且相等，所以0

lim ()1x f x →=．

8 设lim ()x f x A →+∞=，证明01lim x f A x +

→??

= ???

． 证：因为lim ()x f x A →+∞

=，所以0ε?>，0X ?>，

()x X f x A ε?>?-<“”．

取1X δ=

，则10x δ<<时，x X >，从而1f A x ε??

-< ???

．故

01lim x f A x +

→??= ???

．

9 证明黎曼函数()R x 满足0

0[0,1],lim ()0x x x R x →?∈=． 证：0[0,1]x ?∈，当x Q ∈或0,1x =时，()0R x =，所以

0lim ()0x x x Q

R x →∈ …… 此处隐藏：27361字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……