2015-2016学年高二人教A版数学选修2-2备课参考：1.1.3导数的几何

1.1.3导数的几何意义

教学建议

1.教材分析

教材从割线入手,观察割线的变化趋势,揭示了平均变化率与割线斜率之间的关系,通过逼近方法,将割线趋于的确定位置的直线定义为切线,从而将切线斜率和导数相联系,发现了导数的几何意义.本节的重点是理解导数的几何意义,难点是过曲线上某一点的切线斜率的求解方法.

2.主要问题及教学建议

(1)切线的定义.

建议教师运用信息技术演示割线的动态变化趋势,让学生观察、思考,并引导学生共同分析,直观获得切线的定义.

(2)导数的几何意义.

建议教师通过数形结合,将切线斜率和导数相联系,发现导数的几何意义,引导学生体会用数形结合的方法解决问题的优势.

备选习题

1.若函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切,则a=()

A. B. C. D.1

解析:根据题意y'=

=

=(2ax+a·Δx)=2ax,

设切点为(x0,y0),则2ax0=1,且y0=a+1,y0=x0,解得a=.

答案:B

2.已知函数y=f(x)=-1(a>0)的图象在x=1处的切线为l,求l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值.

解:∵Δy=-1-+1

=,

∴.

当Δx无限趋近于0时,趋近于,

即f'(x)=.∴f'(1) =.又f(1)=-1,

∴f(x)在x=1处的切线l的方程是

y-+1=(x-1).

∴l与两坐标轴围成的三角形的面积

S=

=×(2+2)=1.

当且仅当a=,即a=1时,直线l与两坐标轴围成的三角形的面积最小,最小值为1.

3.过点P(-1,0)作抛物线f(x)=x2+x+1的切线,求切线方程.

解:f(x)=x2+x+1,设抛物线上一点M(x1,y1),则该点处的切线斜率k=f'(x1)==2x1+1,于是过点(x1,y1)的切线方程是y-y1=(2x1+1)(x-x1).

又∵y1=f(x1)=+x1+1,①

且点(-1,0)在切线上,

∴-y1=(-1-x1)(2x1+1).②

由①②联立方程组,可解得x1=0或x1=-2,于是y1=1或y1=3,即切点为(0,1)或(-2,3).

过(0,1)的切线方程为y-1=x,即x-y+1=0;过点(-2,3)的切线方程为y-3=-3(x+2),即3x+y+3=0.