高中数学第一章坐标系2

——教学资料参考参考范本——高中数学第一章坐标系2

______年______月______日

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3 [对应学生用书P12]

[自主学习]

曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化

(1)互化的前提条件：

①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合．

②极坐标系中的极轴与直角坐标系中的x 轴的正半轴重合． ③两种坐标系中取相同的长度单位．

(2)互化公式：??? x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，??? ρ2＝x2＋y2，tan θ＝y

x

(3)圆锥曲线统一的极坐标方程为：ρ＝.

[合作探究]

ρ＝1和ρ＝－1是同一个圆的极坐标方程，那么，该圆对应的直角坐标方程也有两个吗？

提示：唯一的一个，x2＋y2＝1.

[对应学生用书P13]

将直角坐标方程化成极坐标方

程

[例1] 把下列直角坐标方程化为极坐标方程．

(1)x ＋y ＝0；

(2)x2＋y2＋2ax ＝0(a≠0)；

(3)(x －5)2＋y2＝25.

[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想，解答此题，需要将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，及x2＋y2＝ρ2代入直角坐标方程，再化简即可．

[精解详析] (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x＋y＝0得ρcos θ＋ρsin θ＝0，

∴ρ(cos θ＋sin θ)＝0.

∴cos θ＋sin θ＝0.∴sin θ＝－cos θ.

∴tan θ＝－1.

∴θ＝(ρ≥0)和θ＝(ρ≥0)．

综上所述，直线x＋y＝0的极坐标方程为

θ＝(ρ≥0)和θ＝(ρ≥0)．

(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＋2ax＝0得

ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcos θ＝0，

即ρ(ρ＋2acos θ)＝0.

∴ρ＝－2acos θ.

∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为ρ＝－2acos θ.

(3)(x－5)2＋y2＝25，即：x2＋y2－10x＝0.

把x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入上式得：

ρ2－10ρcos θ＝0.

即ρ＝0或ρ＝10cos θ.

∵极点ρ＝0在圆ρ＝10cos θ上，

∴所求圆的极坐标方程为ρ＝10cos θ.

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将直角坐标方程化为极坐标方程，只需将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2代入化简即可，但化简时要注意变形的等价性．

1．把圆的直角坐标方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2化为极坐标方程．解：把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，得(ρcos θ－a)2＋(ρsin θ－b)2＝r2.

如果设圆心(a，b)的极坐标为(ρ0，θ0)，则

a＝ρ0cos θ0，b＝ρ0sin θ0，再代入上方程可得：

(ρcos θ－ρ0cos θ0)2＋(ρsin θ－ρ0sin θ0)2＝r2.

∴ρ2(cos2θ＋sin2θ)－2ρ0ρ(cos θcos θ0＋sin θsin θ0)＋ρ(cos2θ0＋sin2θ0)＝r2.

∴ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.

这就是所求的圆的极坐标方程.

把极坐标方程化为直角坐标方

程

[例2] 将下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明是何曲线．

(1)ρsin θ＝1；

(2)ρ(cos θ＋sin θ)－4＝0；

(3)ρ＝－2cos θ；

(4)ρ＝cos θ－2sin θ.

[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化

与化归思想的应用，解答此题需要利用ρcos θ＝x，ρsin θ＝y求解．有时需要在等式两边同乘ρ，构造出ρcos θ和

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ρsin θ.

[精解详析] (1)ρsin θ＝1?y＝1，表示的是一条直线．

(2)ρ(cos θ＋sin θ)－4＝0?ρcos θ＋ρsin θ－4＝0，

∴x＋y－4＝0，表示的是一条直线．

(3)ρ＝－2cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝－2ρcos θ，

∴x2＋y2＋2x＝0，即(x＋1)2＋y2＝1.

表示的是以(－1,0)为圆心，以1为半径的圆．

(4)ρ＝cos θ－2sin θ两边同乘以ρ得

ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ，

∴x2＋y2＝x－2y，即x2＋y2－x＋2y＝0，

即2＋(y＋1)2＝2.

表示的是以为圆心，半径为的圆．

极坐标方程化为直角坐标方程时，往往需要将原极坐标方程两边同乘以ρ，尽可能使得ρcos θ换成x，ρsin θ换成y，ρ2换成x2＋y2.但注意ρ＝0是原方程的解时，所得到的直角坐标方程与原极坐标方程等价．若ρ＝0不是原方程的解时，求得的直角坐标方程，还需加x，y不同时为0的限制．

2．把下列极坐标方程化为直角坐标方程．

(1)ρ2cos 2θ＝8；

(2)ρ＝2cos.

解：(1)因为ρ2cos 2θ＝8，

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所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝8.

所以化为直角坐标方程为x2－y2＝8.

(2)因为ρ＝2cos θcos＋2sin θsinπ

4

＝cos θ＋sin θ，

所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ.

所以化为直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0.

极坐标方程与直角坐标方程互化的

应用

[例3] 求两个圆ρ＝4cos θ，ρ＝4sin θ的圆心之间的距离，并判定两圆的位置关系．

[思路点拨] 本题考查在极坐标系下的距离及位置关系的确定问题，解答此题可以在极坐标系下求解，也可以转化为直角坐标系下的

距离及位置关系问题求解．

[精解详析]法一：ρ＝4cos θ的圆心为(2,0)，半径为2，ρ＝4sin

θ的圆心为(2，π

2

)，半径为2.

两圆圆心的距离为

d＝＝2.

而两圆半径之和为4，两圆半径之差为0.

∴两圆相交．

法二：ρ＝4cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝4ρcos θ，∴ρ＝4cos θ可化为x2＋y2－4x＝0，

即(x－2)2＋y2＝4，

∴表示的是以(2,0)为圆心，半径为2的圆．

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ρ＝4sin θ两边同乘以ρ得ρ2＝4ρsin θ，

∴ρ＝4sin θ可化为x2＋y2－4y＝0，

即x2＋(y－2)2＝4，

∴表示的是以(0,2)为圆心，半径为2的圆．

两圆的圆心距为d＝＝2，

两圆半径之和为4，之差为0，

∴两圆相交．

对于研究与极坐标方程相关的距离及位置关系等问题，可在极坐

标系下研究，也可将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究．

3．已知直线的极坐标方程为ρsin＝，求点A到这条直线的距离．解：把点A化为直角坐标为(，－)．

把直线ρsin＝化为直角坐标方程为

ρsin θ·cos＋ρcos θ·sin＝，

即x＋y＝，∴x＋y＝1.

∴点A(，－)到直线x＋y－1＝0的距离为

d＝＝，

故点A到直线ρsin＝的距离为.

本课时经常考查直线和圆的极坐标方程的应用以及极坐标方程与

直角坐标方程的互化．

[考题印证]

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8 / 13 (辽宁高考改编)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos (θ－)＝2 .

求C1与C2的交点的极坐标．

[命题立意] 本题主要考查极坐标系、极坐标方程与直角坐标方程的互化．

[自主尝试] 由ρ＝，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 得，

圆C1的直角坐标方程为x2＋(y －2)2＝4，

直线C2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0，

由 解得 ??? x2＝2，y2＝2.

所以圆C1，直线C2的交点直角坐标为(0,4)，(2,2)，

再由ρ＝， …… 此处隐藏：3927字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……